第3章图像变换2.

第3章图像变换3.1傅里叶变换3.2离散余弦变换3.3小波变换及其应用3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.4傅里叶变换在图像处理中的应用1.可分离性101022),(11),(NxNyNyjNxjeyxfNeNuF图像尺寸为N×N的函数f(x,y)的DFT可以为如下形式：102),(1NxNxjxFeNF(x,ν)是沿着f(x,y)的列方向所进行的傅里叶变换。然后再将F(x,ν)进行行方向的傅里叶变换。上式说明：二维DFT可分离为一系列一维DFT3.1.3二维离散傅里叶变换的性质可分离性——二维傅里叶变换的全过程行变换N-1M-1F(u,v)(0,0)vuN-1M-1F(x,v)(0,0)vxN-1M-1f(x,y)(0,0)yx列变换先通过沿输入图像的列向计算一维变换再沿中间结果的行向计算一维变换可以改变上述顺序，即先行后列3.1.3二维离散傅里叶变换的性质行变换列变换3.1.3二维离散傅里叶变换的性质可分离性实例3.1.3二维离散傅里叶变换的性质可分离性用途对简化傅立叶变换的程序编制非常有意义：在编写二维傅立叶变换程序的时候，只需要编写一个一维变换的函数。首先将图像数据按列计算一维变换，调用一次函数，然后用中间结果的行的方向计算一维函数，再次调用一次函数，最后即得到二维的变换结果。2.均值性由二维傅里叶变换的定义：1010),(1)0,0(MxNyyxfMNF而，1010),(1),(MxNyyxfMNyxf)0,0(),(Fyxf上式说明：在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度值。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质均值性实例3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.周期性图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT具有周期性：),(),(),(),(NMFNFMFF上式表明：只需一个周期里的变换就可将F(μ,ν)在频域里完全确定。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质4.平移性质DFT平移特性如下：)(20000),()],([NyMxjeFyyxxf),(]),([00)(200FeyxfNyMxj第一个公式表明将F(μ,ν)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心移动到新的位置。第二个公式表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质4.平移性质由以上公式可知：空间域中图像的平移不影响频谱幅度（幅值不变），仅对应于频域的相移（只改变了相位谱）原图像X轴平移图像Y轴平移图像3.1.3二维离散傅里叶变换的性质4.平移性质用途方块图像原点平移前的频谱幅度图像原点平移后的频谱幅度图像3.1.3二维离散傅里叶变换的性质4.平移性质用途上式表明：如果要将图像的频谱原点移到图像中心，只要将f(x,y)乘上因子，再进行DFT变换即可。将DFT频谱的原点移动到矩阵M×N的中心，这样只要设：2,200NMyxyxjNyMxjee)1()()(200)2,2(])1)(,([NMFyxfyxyx)1(3.1.3二维离散傅里叶变换的性质5.分配律根据傅里叶变换的定义，可以得到：)],([)],([)],(),([2121yxfyxfyxfyxf上式表明：傅里叶变换对加法满足分配律。但对乘法则不满足：)],([)],([)],(),([2121yxfyxfyxfyxf3.1.3二维离散傅里叶变换的性质分配律实例++==空域频域3.1.3二维离散傅里叶变换的性质6.比例变换（尺度变换）给定2个标量α和β，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成立：),(||1)],([Fyxf),()],([Fyxf第二个式子表明：对f(x,y)在空间尺度的放缩导致其傅立叶变换F(μ,ν)在频域尺度方面相反放缩。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.3二维离散傅里叶变换的性质尺寸缩放实例64×6432×3216×16空域频域3.1.3二维离散傅里叶变换的性质尺寸缩放实例7.旋转性引入极坐标x=rcosθ,y=rsinθ,μ=kcosф,ν=ksinф，将f(x,y)和F(μ,ν)转换为f(r,θ)和F(k,ф)，将它们带入傅里叶变化对：],[)],([00kFrf上式表明：对f(x,y)旋转θ0，对应于其傅里叶变换F(μ,ν)也旋转θ0。类似地，对F(μ,ν)旋转θ0也对应于其傅里叶反变换旋转θ0。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质旋转性实例旋转300原始图像旋转450空域频域旋转性实例3.1.3二维离散傅里叶变换的性质8.共轭对称性如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对称性：),(),(*FF复习：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。),(*F为),(F的复共轭。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质8.共轭对称性用途3.1.3二维离散傅里叶变换的性质利用这一性质，如果在数据存储和传输时，仅存储和传输频谱的一部分，进行逆变换恢复原图像时，按对称性补充另一部分数据，即可达到数据压缩的目的。9.傅里叶变换的卷积定理),(),()],(*),([2121FFyxfyxf),(*),()],(),([2121FFyxfyxf卷积是空间域滤波和频域滤波之间的纽带对于连续和离散卷积都有下列定理成立：3.1.3二维离散傅里叶变换的性质复杂的卷积运算变乘法（1）卷积的定义3.1.3二维离散傅里叶变换的性质dthxthtxty)()()(*)()(•卷积的复习（2）例题：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)01t21x(t)102th(t)1-201)(h-2+tt01)(th反折：时移•卷积的复习3.1.3二维离散傅里叶变换的性质解：（1）-2+tt01)(th211)(x0)(21tyt时，（2）-2+t0t1)(th211)(x时，121t16144)(21)(221ttdttyt（3）-2+t0t1)(th211)(x时231t16343)(21)(121tdtty•卷积的复习（4）-2+tt1)(th211)(x0323t4324)(21)(212ttdttyt-2+tt1)(th2101)(x(5)0)(3tyt时，y(t)的时域波形如图所示：0123t21y(t)23165169•卷积的复习•老板命令干活，你却打台球，被发现，扇你一巴掌（输入信号，脉冲），你脸上鼓起一个包，脸是系统，包是脸对巴掌的响应，假定你的脸是线性时不变系统，老板总是打你脸同一位置，你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来。•老板每扇你一巴掌，你5分钟就消肿，如果老板忍无可忍，以0.5秒的间隔不间断的扇你，第一次鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，效果不断叠加，鼓包效果就可以求和了；•如果老板再狠一点，频率越来越高，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，脸上的包的鼓起程度和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。x(τ)就是第τ个巴掌的力度，h(t-τ)就是第τ个巴掌在t时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，（3）卷积的物理意义(通俗版)•卷积的复习dthxthtxty)()()(*)()(①一个单位冲击函数000)(ttt作用于线性电路，使电路输出y（t）=h（t）则，h（t）为电路的冲击响应函数。h(t)δ(t)y（t）t0t0（3）卷积的物理意义（理论版）•卷积的复习②若两个单位冲击函数陆续作用于该线性电路？t0τt0τ（3）卷积的物理意义（理论版）③连续信号x（t）输入，（可以看成许多δ乘以不同系数陆续作用）dthxty)()()(（3）卷积的物理意义（理论版）对于连续二维函数f1(x,y)与函数f2(x,y)，卷积定义为：dpdqqypxfqpfyxfyxf),(),(),(*),(21213.1.3二维离散傅里叶变换的性质（4）二维连续函数卷积定义二维离散卷积：10;10),,(ByAxyxf10;10),,(DyCxyxg(个样本值)BA(个样本值)DC),(),(),(),(1010nymxgnmfyxgyxfeMmNneee)1,2,1,0;1,2,1,0(NyMx设两个二维离散函数：式中，与分别是、的周期化函数。),(yxfe),(yxge),(yxf),(yxg3.1.3二维离散傅里叶变换的性质（5）二维离散函数卷积110;1;10,0),,(),(NyDDyMxCCxyxgyxge即：和的周期为：),(yxfe),(yxge定义所给出的阶函数阵列，是二维离散卷积的一个周期。NM110;1;10,0),,(),(NyBByMxAAxyxfyxfe110;1;10,0),,(),(NyBByMxAAxyxfyxfe11DBNCAM（5）二维离散函数卷积3.1.3二维离散傅里叶变换的性质f*h=g（5）二维离散函数卷积3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.3二维离散傅里叶变换的性质（6）二维离散卷积应用—空间滤波3.1.3二维离散傅里叶变换的性质（6）二维离散卷积应用—空间滤波•Step1：将模板在图像f上移动，并将模板中心与图中某个像素位置重合。•Step2：将模板上的系数与模板下对应的像素灰度值相乘。•Step3：将所有的乘积相加，把和(模板的输出响应)赋给图像中对应模板中心位置的像素。（6）二维离散卷积应用—空间滤波3.1.3二维离散傅里叶变换的性质（6）二维离散卷积应用—空间滤波3.1.3二维离散傅里叶变换的性质以下图为例，如果模板中心和图像f中的像素点（x，y）位置重合，并且（x，y）处的像素值为f0，那么（x，y）处的模板输出响应r为：r（x，y）=k0*f0+k1*f1+…+k8*f83.1.3二维离散傅里叶变换的性质（6）二维离散卷积应用—空间滤波使用模板处理图像时涉及到的问题：边界问题：当处理图像边界像素时，卷积核与图像使用区域不能匹配，卷积核的中心与边界像素点对应，卷积运算将出现问题。处理办法：A．忽略边界像素，即处理后的图像将丢掉这些像素。B．保留原边界像素，即copy边界像素到处理后的图像。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质（6）二维离散卷积应用—空间滤波10.图像相关对于连续一维函数f1(x)与函数f2(x)，它们的相关定义为：dttxftfxfxf)()()()(2*121)(*tf为的复共轭。)(tf对于连续二维函数f1(x,y)与函数f2(x,y)，它们的相关定义为：dpdqqypxfqpfyxfyxf),(),(),(),(2*1213.1.3二维离散傅里叶变换的性质离散相关参照前面离散卷积的定义，可如下定义一维离散相关：二维离散相关定义为：102*121)()(1)()(MmeeeemxfmfMxfxf10102*121),(),(1),(),(MmNneeeen