第3章数字电路ppt

第3章逻辑代数基础赖祖亮@小木虫1掌握逻辑代数的基本运算、基本定理、常用公式234掌握逻辑函数的真值表、代数式、逻辑图和卡诺图表示方法掌握逻辑函数代数式的标准形式和非标准形式掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图化简本章目标逻辑代数亦称布尔代数，是英国数学家乔治•布尔（GeorgeBoole）于1849年创立的。当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，既没有具体的物理意义，也没有现实意义。进入数字时代后，其应用和价值得意体现。逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，逻辑代数研究的是输入变量与输出变量之间的逻辑关系。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，习惯用大写字母A、B、C…表示。每个逻辑变量的取值只有两种，逻辑0和逻辑1，亦称二值变量。逻辑代数中的常量，只有0和1。这里的数字0和1不表示数值的大小，而是表示对立的两个状态，例如可表示开关的闭合与断开、信号的有和无、电平的高与低等。如果高电平用1表示，低电平用0表示，则称为正逻辑表示；如果高电平用0表示，低电平用1表示，则称为负逻辑表示。如无特殊声明，本书均采用正逻辑表示。引言逻辑代数的化简方法逻辑代数的三个规则逻辑代数及其表示逻辑代数的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本运算内容提要关键术语与逻辑：决定某件事情的所有条件都具备时，该事件才会发生。或逻辑：决定某件事情的所有条件中只要有一个条件具备，该事件就会发生。3.1逻辑代数中的基本运算非逻辑：决定某件事情的条件具备时，结果反而不会发生。逻辑代数中有与、或、非三种基本逻辑关系，也称为逻辑代数的三种基本逻辑运算。3.1.1三种基本运算与运算(串联开关模型)1亮合合灭断合灭合断灭断断灯Y开关B开关AABYABY000010100111规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0决定某件事情的所有条件都具备时，结果才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系，用与运算描述。与运算又称逻辑乘，其运算符为“·”。逻辑表达式及符号为：Y=A·B或Y=AB（与门）有0出0全1出1亮合合亮断合亮合断灭断断灯Y开关B开关AABY或运算(并联开关模型)2ABY000011101111有1出1全0出0规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0决定某件事情的所有条件只要有一个条件具备，时间就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系，用或运算描述，或运算又称逻辑加，其运算符为“+”。逻辑表达式及符号为：Y=A+B（或门）灭合亮断灯Y开关AARY规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0AY0110决定某件事情的条件具备时，结果反而不会发生。这种因果关系称为非逻辑关系，非运算描述用“”。非逻辑表达式及符号为：Y=A（非门）非运算(短路开关模型)3三种基本逻辑运算简单，容易实现。但是实际逻辑问题要比三种基本逻辑运算复杂得多。常把与、或、非三种基本逻辑运算合理的组合起来使用，称为复合运算。常用的复合运算有与非、或非、与或非、异或和同或运算等。3.1.2复合运算与非运算1先与后非（与非门）有0出1全1出0100011YAB101110逻辑表达式逻辑符号逻辑真值表逻辑功能或非运算2先或后非（或非门）有1出0全0出1000111YAB101110逻辑表达式逻辑符号逻辑真值表逻辑功能先与后或再非与或非运算3异或运算4先或后非同或运算5（异或门）相异为1相同为0000011YAB101110逻辑表达式逻辑符号逻辑真值表逻辑功能（同或门）相同为1相异为0100111YAB001010逻辑表达式逻辑符号逻辑真值表逻辑功能异或和同或互为反函数&ABYABBAYY(a)(b)(c)&ABYABBAYY(a)(b)(c)≥1ABYABY(a)(b)(c)＋&AYAAYY(a)(b)(c)1Y(a)&ACYDAY(a)(b)(c)DBYB≥1C&ACYDYB≥12输入与门国家标准曾用标准美国标准2输入或门非门与或非门逻辑符号对照&ACYAY(a)(b)(c)BYB&(a)&ACYBC&ACYAY(a)(b)(c)BYB≥1(a)&ACYB+C&ABYABBAYY=1ABYABY(a)(b)(c)&ABYABBAYY=1ABYABY(a)(b)(c)⊙3输入与非门国家标准曾用标准美国标准3输入或非门异或门（同或非门）同或门（异或非门）逻辑符号对照解：Y1有0出0全1出10110011000110011Y2Y3相同出0相异出1[例]试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。3.2逻辑代数中的基本定律和常用公式3.2.1逻辑代数的基本定律0·0=00·1=01·0=01·1=10+0=00+1=11+0=11+1=11、常量-常量的运算2、常量-变量的运算AAAAAA110000111100AAAAAA3、基本定律4、特殊定律BAABABBA)()(BCACAB)()(CBACBAACABCBA)(BCABCABACAACABA))((交换律：结合律：分配律：0AA1AA互补律：AAAAAAAACBAABCCBACBA同一律（重叠律）：还原律（非非律）：摩根定律（反演律）：111111111100解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)用分配律展开=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111[例]证明等式A+BC=(A+B)(A+C)3.2.1逻辑代数的常用公式公式2含义：在两个乘积项中，如果一个乘积项是另一个乘积项的因子时，则另一个乘积项是多余的。A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A公式1含义：如果两个乘积项中有一个因子是互补的，而其它因子都相同时，则互补因子是多余的。证明：公式4含义：在两个乘积项中，如果一项包含原变量A，另一项包含其反变量，而这两个乘积项的其余因子都是第三个乘机项的因子时，则第3个乘积项是多余的。（也叫吸收率）证明：公式3含义：在两个乘积项中，如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子时，则该因子是多余的。证明：3.3逻辑函数3.3.1逻辑函数的定义逻辑函数的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1两种；（2）逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由与、或、非三种基本运算决定的。将逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的值便被唯一的确定下来。这种输出与输入之间的逻辑关系式，称为逻辑函数。记为：式中，A、B、C、D…为逻辑变量，Y为逻辑函数，F为某种对应的逻辑关系。),,,(DCBAFY某一逻辑函数，如果逻辑变量的取值没有限制，该逻辑函数称为完全描述的逻辑函数。3.3.2逻辑函数的约束条件如果逻辑变量的某些取值组合不可能出现，或某些取值组合使逻辑函数值不唯一，该逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数或带约束条件的逻辑函数。对应的这些取值组合称为该逻辑函数的约束条件。如：8421BCD码中，1010~1111这六种组合是不允许出现的，称为约束条件。又如：交通灯控制系统中，黄灯亮时，若车已越过停车线，逻辑值为1，未越过停车线，逻辑值为0。其逻辑函数取值是不唯一的。3.4逻辑函数的表示关键术语真值表：描述所有输入变量的取值组合与所对应的输出逻辑函数值的一种表格形式逻辑表达式：由与、或、非三种基本逻辑运算按不同方式组成的表达式。逻辑图：用逻辑门组成的能完成特定功能的逻辑电路图卡诺图：是一种用小方格来构成的图形。每一个小方格代表一个最小项，n变量共有2n个小方格，将全部小方格按照相邻性排列起来构成最小项逻辑相邻的图形。3.4.1真值表真值表是描述所有变量的取值组合与对应的逻辑函数值的一种表格形式。直观、明了地反映输出与输入逻辑变量的对应关系，是一种十分有用的工具。真值表由左右两部分组成，左边栏所有变量按n位二进制数递增的方式列出，右边栏是变量取值组合对应的逻辑函数值。有约束条件的逻辑函数，约束条件对应的逻辑函数值，可用符号“×”来表示。在数字系统中，逻辑函数的真值表是唯一的，能直观、明了地反映输出与输入逻辑变量的对应关系。列出真值表的方法：(1)按n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输入变量4个输入变量有24=16种取值组合。的真值表。　　求函数例][CDABY解：三个裁判员作为三个输入变量，分别用A、B、C表示，取1表示裁判员认可，取0表示裁判员否决。用Y作为输出的逻辑函数，1表示试举成功，0表示试举失败。则Y与A、B、C之间的逻辑关系见下表。[例]举重比赛中有三个裁判员，规定只要有两个或两个以上的裁判员认可，则试举成功，否则试举失败。试给出该“举重判决”问题的真值表。ABCY000000100100011110001011110111113.4.2逻辑代数式逻辑代数式是由与、或、非三种基本逻辑运算组成的表达式。例如上述“举重判决”问题的逻辑代数式可表示为：逻辑函数的代数式不是唯一的，一般分为标准式和非标准式两大类。其中标准式主要有标准与或式和标准或与式两种。ABCCABCBABCAYBCACABY))()()((CBACBACBACBAY上述各式中，、等称为与项（亦称为乘积项）、等称为或项（亦称为相加项）。ABBCA)(CBA)(CBA标准与或式——最小项表达式1在n变量的逻辑函数表达式中，如果一个与项包含n个变量，每个变量均以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，这样的与项称为最小项。n个变量最多可以组成2n个最小项。为了使用方便，需要将最小项进行编号，常用mi表示。下标i的编号规则：将每个最小项中的原变量记为1，反变量记为0，构成一个n位二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数就是最小项下标i的编号。（1）最小项的定义及编号例如:三个变量（A,B,C）最多可以组成八个最小项如何编号？如何根据输入变量组合写出相应最小项？简记符号例如CBA1015m5m44100CBAABC111110101100011010001000最小项ABCCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应的十进制数76543210将输入变量取值为1的代以原变量，取值为0的代以反变量，则得相应最小项。全部由最大项相与组成的逻辑函数表达式称为最大项表达式，亦称为标准或与式。任何一个逻辑函数都可以表示为最大项之积。下面是一个标准与或式（2）标准与或式注意：标准与或式中输入变量的排列顺序非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。由于逻辑函数的真值表和标准与或式都是唯一的，因此，逻辑函数的真值表和标准与或式之间存在对应的转换关系。ABCCABCBABCACBAF),,(一般形式7653),,(mmmmCBAF)7,6,5,3(),,(mCBAF简写形式①由逻辑函数的真值表直接写出标准与或式将真值表中逻辑函数值为1对应的输入变量取值组合写为与项（取值组合中变量取值为0的与项用反变量表示，取值为1的与项用原变量表示），然后将各与项相加。真值表、标准与或式之间的相互转换②由逻辑函数的标准与或式直接列出真值表将标准与或式中的与项转换为变量的取值组合（与项中原变量取值为1，反变量取值为0），或将标准与或式中最小项编号转换成二进制数对应变量的取值组合，然后在真值表中，将这些变量的取值组合对应的逻辑函数值填1，其余的变量取值组合对应的逻辑函数值填0。以“举重判决”的逻辑函数的真值表为例，直接写出其标准与或式(1)找出函数值为1