第3章有限变形

第3章有限变形24第3章有限变形§3.1有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。小变形：小位移，小转动，小应变，)(21)(21,,,,ijjiijijjiijuuuu有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体有限变形下仍变为一个平行六面体这一条件不变变形几何学方面来研究变形四个问题：1）记录2）什么办法来描述3）怎么度量4）有没有办法将变形分解§3.2物体的构形和坐标系物体：连续介质，变形前用0K代表，变形后物体用tK代表0K：物体，物质点的集合,被始构形(materialconfiguration)；tK：变形后的物体,现时构形(spatialconfiguration)，P：物质点p：空间点，物质点在空间所占的位置。初始坐标系　　ⅢⅡⅠXXXOⅢXⅡXⅠX)(KXP0K0tt时刻Xxtk)(kxp1x2x3x初始构形现时构形第3章有限变形25ⅠXⅡXⅢX)(KXP)(kxpXOod2xx3x1xu现时坐标系321xxxo构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。0t瞬时，初始构形0K0K：初始构形，X点的坐标（KX）tK：现时构形，（瞬时t的构形），x点的坐标（kx）全部采用直角坐标系§3.3描写物体运动和变形的方法1．Lagrange描述法用物质坐标kX作自变量（描述物体的运动和变形）(,)(,)kkKtxxXtxxX研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2．Euler描述法用空间坐标kx作自变量（描述物体的运动和变形）(,)(,)KKktXXxtXXx研究空间点x处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）位移点：uudxX（其中d不随时间而变，X也与t无关）速度和加速度：分两种表述方法1）Lagrange法22(,)(,)KKXttXttXvuxavu2）Euler法：（研究流体的流动等）(,)kxtvv——流场第3章有限变形26(,)d(,)d(,)kkkkkkkxtxxtttxtxtvtxvvavvv物质导数=局部导数+迁移导数§3.4变形梯度有限变形：记录（构形），描述EL，度量（本节研究）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。变形前线元：ddKKPQXXE变形后线元：ddKkpqxxexXdd经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）1）Lagrange法：物质坐标KX——自变量p点：),(tXxxKkkq点：),d(dtXXxxxKKkkk求dx：KKkKkKKkkXXxtXxtXXxxd),(),d(dKKkkXXxxdd表示dx和dX的关系（可见KkXx的重要性）KkXx称为物质变形梯度张量F（称为“物质”的理由是物质坐标下的）。即KkKkkKxXxF,简写ddddkkKKxFXxFX变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向）（*）x1x3xⅡXⅠXⅢX2xXPQtK0KpqpPdxdX变形前dx（方向、长度）变形后dx（方向、长度）第3章有限变形27下面验证F是一个二阶张量kmlmklmlklmlklmkKMMmmkKkqqxxqxxqxxXXXxxxXx类似KMKMQxX即TFqFQF为二阶张量，关系到两个坐标系，称为两点张量。kkKKxXFeEF对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换。由此可见，F包含了全部的有限变形信息。GradxFxX（所以称为变形“梯度”）kKkKFeEkkKKxXeE（各种不同的写法）rFqFQ2）Euler法：用空间坐标kx——自变量，t作参变量。P点（与p对应的物质点）：),(txXXkKKQ点（与q对应的物质点）：),d(dtxxXXXkkKKKkkKKxxXXdd（知道现在线元，倒回去查原来的线元）对应于一个由kxd的线性变换。空间变形梯度张量：1F（以空间坐标为自变量）1,gradKKkKkKkkXXxFXEeXEex其实，F与1F互逆，所以以1F定义。§3.5变形张量回顾变形梯度张量：,ddFxFX包含了全部信息第3章有限变形28变形张量只研究其长度改变的信息（不包含方向改变）1）Lagrange描述法：KX作为自变量变形前dX的长度2d:(d)ddKKLLXX变形后dx的长度2d:(d)ddddkkklklllxxxx上述KXd应该是已知的，kxd可求出的。则LKLlKkklLKlLkKklLlLKkKklXXxxXXFFXFXFldddd)d)(d()d(,,2LKLkKkXXxxdddl)(,,2变形张量C（称为Green变形张量）C为正定的（0)d(2c）,,KLkKkLCxxC为对称张量。T,,kKkLKLxxCFFCEE已知变形梯度张量可求出变形张量。通过C可直接算出长度的变化（优点）。2）Euler描述法：kx作为自变量变形后的长度ld：kkxxldd)d(2（作为已知的）变形前的长度Ld：2,,,,(d)ddddddddKKKLKLKLKkLlklKkLlklLXXXXXXxxXXxxCauchy变形张量1B1,,111()()KkKlklTXXBeeBFF通过变形梯度张量可求出变形张量。§3.6变形梯度张量的极分解变形梯度张量F。（若）F是一个可逆张量，即1F存在，则F可写为：FRU或FVR右极分解左极分解上述分解存在且唯一的，R是正常正交张量，表示转动，所以记为R，U和V是对称、正定张量。1．右极分解的证明若FRU成立，且R为正交张量，U为对称正定张量。第3章有限变形29URVRTTTTT()FRUURUR则TT()()FFURRUUU又TFFC为正定的，对称轴，由F可找到U，且U为正定、对称的。又1RFUT1TT1T111URUFRRUFFUUUUIR为正交张量。2．右极分解的唯一性设FRURUTT2TTT2()()URFRRUUUUUUURRRRUUUU，由此可推得RR3．左右极分解中的R是相同的。FRU又*FVR***T***T*()()FVRRRVRRRVR上式为一右极分解，因为右极分解是唯一的，则*RR同时由上式可得：TURVRU：右伸长张量V：左伸长张量U和V是相似张量。则TVRUR§3.7Lagrange标架和Euler标架通过这两个标架的学习了解,,RUV的几何意义。FRUFVRddxFXF相当于一个变换。变形后线元；变形前线元1．右极分解dddxFXRUX将dX先进行U变换，再进行R变换。第3章有限变形30U正定对称二阶张量，对称张量，存在三个互相垂直的主方向，M（）（正定）对应有三个主值（非负）(111222333UMMMMMMMMLagrange标架：123,,MMM作为基矢第一步：(ddUXMMXddXXM也按Lagrange标架分解。()(dddXXUXMMMM第二步：d(d)FXRUX即(ddXxRM又(ddXxm则：mRM（变换后仍为矢量）正交张量：有体内积性质，即，有M为单位矢量，正交变换后的m仍为单位矢量，但方向改变，且M仍为三个互为正交的。m三个相垂直的方向——Euler标架根据前面两步可知：U右伸长张量，R转动张量。２．左极分解dddxFXVRX第一步：ddXRXRM（保内性质）dXm（长度不变，但投影到Euler标架上）第二步：d?VRX令TT(VRURRMMRdmmEuler标架是V的三个主方向，以123,,mmm作为基矢。设(Vmm则(U和V主方向不同，主值相等。（U和V是相似张量）ddddXxFXVRXm两个极分解是同样的结果，只是伸长与转动的顺序不同。Lagrange标架：U主方向MEuler标架：V的主方向m既不固定在空间，也不固定在物体上，由变形来确定的标架。123,,eee与,,EEEⅠⅡⅢ是分别固定在空间与物体上的。第3章有限变形31§3.8有限变形的应变张量,,,,FCBUV已学过不是应变张量。小变形的应变张量应变定义：0000llllllHill研究上述定义有三个含义：①的递增函数（变形增加，则应变增加）②时，应变=0③应变对的导数=1（时）根据上述三条，推广Hill应变张量（有限变形）：111222333()()()ffffEMMMMMM)(),(),(32fff为L标架中的主应变，主应变是32,,的函数。条件：a）(f是的递增函数b）时，(fc）(f，当理由，当是小变形时，可与原来的理论相通。Seth应变张量：)1((2nnfn取任意数满足Hill条件。()2)1(1)2nnnEMMGreen应变张量：1n2(1)2((1)11()()22fEUICI工程应变张量：21n(f(1)((1)EUIMM对数应变张量：0nlllfnd((推广）0lnln()EUMM第3章有限变形32Swainger应变张量；21n(f1()211()(1)EIMMUAlmansi应变张量：1n2(1)2((1)11()(1)22fEIUMM有限变形中，应变的定义并不明确，都可用，到底用哪一个好？§3.9Green应变张量和Almansi应变张量线元长度公式Lagrange描述法：22,,(d)dd(d)ddKLKLKLKLKLkKkLLXXlCXXCxxEuler描述法：2121,,(d)dd(d)ddklklklklklKkKlLBxxlxxBXX1．Green应变张量：（也叫做Lagrange应变张量）采用Lagrange描述法。22(d)(d)()dd2ddKLKLKLKLKLlLCXXEXX)(21,,KLLkKkKLxxE——Green应变张量分量1()2ECI2．Almansi应变张量（也叫做Euler应变张量）采用Euler描述法lkklklxxBLldd)()d()d(122第3章有限变形33ⅢXⅠXⅡXPpXxdⅡX1x3x2x)(211klklklBe——Almansi应变张量分量,,1()2klKkKlXX21()2eIU§3.10用位移表示的Green应变张量和Almamsi应变张量位移矢：uxXdLagrange描述法KKUuEKKDdEKKkkKKKKUxxDEeEE令物质坐标系和空间坐标系之间的转移张量kKkKeE则kkKKeEKKkkKKKKUxXDEeEE故KkkKKKUxXDMllMMMUxXD对KX求导：MKlMKlKMxU,,两边乘Mk：KkKkKklkKlMkMKMklMKlMkKMxx