第3讲-主应力及主切应力.

金属塑性变形理论Theoryofmetalplasticdeformation第五讲LessonFive张贵杰ZhangGuijieTel：0315-2592155E-Mail：[e-mail]河北理工大学金属材料与加工工程系DepartmentofMetalMaterialandProcessEngineeringHebeiPolytechnicUniversity,Tangshan063009Lesson52019/12/202第十章应力状态分析主要内容MainContent应力状态基本概念斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力球应力及偏差应力Lesson52019/12/20310.4主应力及主切应力10.4.1主应力的概念通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面。Lesson52019/12/204Lesson52019/12/205Lesson52019/12/206主应力的求解如果取微分面ABC为主微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力。用表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为nSmSlSnznynxLesson52019/12/207代入到斜面应力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得又有1222nml（*）（**）Lesson52019/12/208由上面四个方程可求出主应力及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有l=m=n=0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即0zyzxzzyyxyzxyxxLesson52019/12/209展开此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI)(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI则有032213IIILesson52019/12/2010三次方程式称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知0321032113322123213由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得Lesson52019/12/2011应力张量不变量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxI13322122232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI321对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么I1、I2、I3是不随坐标系改变的，分别称为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。Lesson52019/12/2012主应力的特点三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的将主应力1代入（*）式中的任何两个方程，并与（**）式联立，可以求解出主应力1的方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主应力2及3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、n3。每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系0212121nnmmll0323232nnmmll0131313nnmmllLesson52019/12/2013三个主应力均为实根主应力具有极值性质三个主应力中的最大值赋给1，最小值赋给3，并按大小顺序排列1≥2≥3，则过该点任意微分斜面上的正应力中，1为最大值，3为最小值。Lesson52019/12/2014主坐标系因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐标轴称为主轴。212(y)3(z)1(x)3Lesson52019/12/2015在主坐标系下斜面上的应力为nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或232221nmln正应力321000000T为主应力张量Lesson52019/12/201610.4.2主切应力和最大切应力主切应力任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力上式中消去n，得到n与l、m的函数关系2221322232222212lnnmmln232322312322322223212mlmlnLesson52019/12/2017当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得微分面上的切应力的极值。020232323223123223132322312321mmlmmflmlllf232322312322322223212),(mlmlmlfnLesson52019/12/2018对此方程组求解分不同情况当1≠2≠3时，1），此解指主微分面上切应力为零2）时，3）时，4）时，此种情况不可能成立。5）若方程中消去m，则有1,0nml0,0ml21021nml0,0ml21210nml0,0ml02121nmlLesson52019/12/2019l＝0m＝0n＝0Lesson52019/12/2020当1＝2＝3时，则切应力在通过该点的任何微分面上为零。主切应力最大切应力22112232232311323113maxLesson52019/12/2021l000m000n000切应力000正应力112121123222123112323222123121212121主平面和主切平面上所作用的应力Lesson52019/12/2022同理可求得2、3的方向余弦23010nml010nml或507.00862.0nml507.00862.0nml或xz13