第4章-弯曲应力

第四章弯曲应力西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室回顾与比较内力NFA应力PITFSM??一、概述如何设计车轮轴的横截面?如何计算火车车轮轴内的应力?1.问题的提出如何简化出火车车轮轴的计算模型?§4-4梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件纯弯曲横力弯曲S0FM常量S0()FMMxFSxFFxMFaFalaF平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Purebending).分析方法(Analysismethod)剪力FS切应力内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力弯矩M正应力只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩mmFSmmM从几何关系、物理关系、静力学关系这三方面着手，研究梁纯弯曲时横截面上的正应力。二、公式推导研究思路：变形几何关系物理关系静力学关系观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式2.实验观察：纯弯曲时的变形特征（2）各横向线仍保持为直线，只是相对转过了一个角度,（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。（3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。3.纯弯曲时的基本假设变形后仍为平面（2）单向受力假设（1）平截面假设(PlaneAssumption)(a)变形前为平面的横截面纵向纤维无挤压,纵向纤维间无正应力(b)仍垂直于变形后梁的轴线4.中性层和中性轴设想梁是由无数层纵向纤维组成，由纤维伸长到纤维缩短，中间必然经过一层，它既不伸长，也不缩短。这层纤维称之为“中性层”。（变形指标）中性层曲率1愈大——变形程度就愈大愈小——变形程度就愈小中性层与横截面的交线，称为“中性轴”。观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴二、公式推导dMMb1b2O1O2dx梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。1.变形几何关系()''12=dbby''121212ddbbxOOOO()-yyddd二、公式推导观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴y2.物理关系(Hooke定律)中性轴MyzOx结论：梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正比。以中性轴为界，一侧受拉，一侧受压=Ey=yE??待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ二、公式推导观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴y=yE3.静力学关系xFyMzM00MddxFAddzMyAAdAAzdAAydAddyMzA这一力系向坐标原点O简化，得到三个内力分量。横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系。()01xAFdA0AydAzS上式表明中性轴通过横截面形心。将应力表达式代入第一式，得yE=0AEydAAdA0AAEzdAyzdAyzI将应力表达式代入第二式，得yE()02yAMzdA自然满足2ZAydAIyE()3zAMydAM纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式zMyI截面弯矩横截面对中性轴惯性矩点到中性轴的距离纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的弯曲刚度。将应力表达式代入第三式，得2AAEydAydAM2AEydAM1zMEI观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度zEIM1yEyzIMy20二、公式推导中性轴z为横截面的对称轴时maxmaxzMyI称为弯曲截面系数maxzMIyzMWyzzybh中性轴z不是横截面的对称轴时t,maxt,maxzMyIc,maxc,maxzMyIOzyyt，maxyc，max常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面AdAyI2ZZmaxyzIW644ZdI332zdW)1(6444ZDI34(1)32zDW123ZbhI26zbhW12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212zbhbhWh/dD内外径比惯性矩的两个重要公式（1）叠加公式当一个平面图形是由若干个简单的图形组成时，根据惯性矩的定义，可先算出每一个简单图形对同一轴的惯性矩，然后求其总和，即等于整个图形对于这一轴的惯性矩。niyiyII1nizizII1（2）平行移轴公式图形对形心轴的惯性矩、与形心轴平行直线的惯性矩之间的关系为：AaIIyCy2AbIIzCz2式中，a，b分别为图形的形心C的纵坐标和横坐标。A为图形的面积。[例1]如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。分析：ＤL30kN·mM30kN·m纯弯曲解：（1）计算W（2）计算maxmaxMW()33343=200107.910m3232WDm3max43301038.2MPa7.910MNmWm（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：由此可见，载荷相同、max要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。Ｄ1ｄ1Ｄ222210(10.6)2000.7[例2]在相同载荷下，将实心轴改成max相等的空心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。解：（1）确定空心轴尺寸由3441(10.6)7.91032D1210mmDAA空实2212(1)44DDmaxMW思考试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。dhb从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？意为矩形梁木的高:宽=3:2。“凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。”李诫《营造法式》222()66ZbhbdbW222()bhd2hb221(3)06ZdWdbdb令22222,33ddbhI.合理设计截面Ⅱ.纯弯曲理论的推广横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。zIyxM)(Fl4lF等截面梁，横力弯曲最大正应力maxmaxmaxmaxZZMyMIW例图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a。B5m10mAFCFAFB12.521166560za375kN.mM解：1、作弯矩图如上，mkN3754maxFlM2、查型钢表得3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWM()MPa148mm1065586mm212560mmN10375446maxzaaIyM56号工字钢3、所求正应力为12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的MPa160maxMPa148MPa1602560212560maxmaxyyaa12.521166560zaⅢ梁的正应力强度条件由于max处=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：材料的许用弯曲正应力max中性轴为横截面对称轴的等直梁maxmaxmaxmaxzZMyMIW拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁][tmax,t][cmax,cOzyyt，maxyc，max][tmaxt,maxmaxt,zIyM][cmaxc,maxmaxc,zIyM][][ctmaxc,maxt,yy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为例跨长l=2m的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力[c]=90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。解：][][ct21yy根据截面最为合理的要求319030mm701y1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d即21060220)60280()30280(22060260280)60280(ddymm24d得462323mm102.99)30210280(220601260220)110210(220241222024zI截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280dmkN4042804maxFlMMPa7.84mm102.99mm210mmN10404662maxmaxc,zIyM][c梁上的最大弯矩于是最大压应力为即梁满足强度要求。y1y2z60220yO280dOc,maxt,maxz例图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力[c]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]。解：1、梁的支反力为zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFAFFB474FFA据此作出梁的弯矩图如下4maxFbM2maxFbM发生在截面C发生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力注意到zIyxM)(因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。maxmaxMM21yyzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4而CB()()MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzB考虑截面B：kN2.19FzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BC()()31c,max44/2210mm134mm90MPa549310mmBzFMyI36.9kNF考虑截面C：因此梁的强度由截面C上的最大拉应力控制()()MPa30mm105493mm134mm1024/4431maxt,FIyMzCzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4CB16.4kNF16.4kNF若上题中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？yz因为截面对称性，故最大拉应力与最大压应力在弯矩绝对值最大的横截面上。参考答案：若全梁横截面上弯矩均为正值（或均为负值），如果中性轴不是横截面的对称轴，则整个梁上横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩最大的横截面上？因为全梁截面上的弯矩正负一致，最大拉应力或最大压应力在截面的同一侧，故最大值在弯矩绝对值最大的横截面上。参考答案：§4-5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件Ⅰ、梁横截面上的切应力推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程分离体的平衡横截面上切应力分布规律的假设横截面上弯曲切应力的计算公式一、矩形截面梁mmnnq(x)F1F2xdxbhzyhm'mn'nnm'mdxbzyOxF