第六章不对称状态网络计算的分量系统-讲稿

-81-81不对称状态网络计算的分量系统6－1引言内容：不对称状态下网络的计算问题三相系统运行状态：1）对称运行状态（三相可解耦计算，解算一相）对称电流：240120cbaIII，对称电压：240120cbaUUU对称负荷：cbaZZZ2）不对称运行（应用分量系统解耦计算）三相不对称系统的计算是电力系统故障分析的重要内容。在线路布局完全对称或完全换位的条件下，如果系统处于正常运行状态，那么各相电压或电流是对称的，这时无需对三相都进行计算，只要单独地进行一相的解算，将结果进行相应的相移处理就能得到三相的结果。在不对称故障条件下，三相对称的局面被打破，不能再沿袭正常工况条件下的单相计算方法了。21.3.2.1的组合和条件电压、电流不对称网络参数的不对称不对称状态不对称状态下的网络计算分两种情况。一种情况是网络参数对称，但由于电压（或电流）的不对称而引起电流（或电压）的不对称；另一种情况是由网络参数不对称引起，这时即使电压（电流）对称也将导致电流（电压）的不对称。当然也存在两种情况的组合。无论是那一种情况，都将导致三相间的相互耦合，这使得解算过程复杂化。所谓“分量系统”方法是求解此类问题的有效工具。它的目的是解耦，形成三套各分量不存在耦合关系的独立系统，对他们分别加以计算，然后将相应的解迭加起来得到原来不对称系统的解。6-2分量系统总论本章在统一的数学描述前提下讨论分量系统，谋求读者对分量系统有更深刻的认识。一、电流电压的关系对三相输电系统，电压电流关系表达式通常可用下式描述abcabcabcIZV（6.1）其中cbaabcVVVVcbaabcIIII，CCCBCABCBBBAACABAAabcZZZZZZZZZZ（6.2）abcV、abcI分别为负载或元器件两侧的电压电流向量有效值，而abcZ为负载或元器件阻抗矩阵。式6-1是三相系统电压、电流的一般表达式。在电力系统的不对称情况分析计算中，其阻抗矩阵通常具有以下两种情况：负荷或元件阻抗矩阵通常具有：MMMMMMMabcZZZZZZZZZZ，ZZZZZZZZZMMMMMMabc211221Z式（6.3）称之为对称阻抗矩阵，式（6.4）称之为循环对称阻抗矩阵。显然，对称阻抗矩阵可视为循环对称阻抗矩阵的一个特例，它的MMMZZZ21。。在电力系统中，三相对称负荷及布局完全对称或完全换位的输电线路的阻抗矩阵具有对称阻抗矩阵的形式。对于旋转电机其阻抗矩阵具有循环对称矩阵的形式。电力系统在正常的对称运行条件下，对于对称阻抗矩阵，在X-Y坐标轴系内，不难得到电压与电流的解耦关系：-82-821）对称运行和对称矩阵的条件下：电流电压关系：（abc系统）cbaMMMcbaMMMMMMMcbaIIIZZZZZZIIIZZZZZZZZZVVV000000（6.5）0cbaIII这时三相完全分离，即某相电压仅与同名相的电流有关。在计算中可以只计算其中的一相，其余两项便可方便地得出。对于循环对称矩阵（如旋转电机），由于式（6.4）的互阻抗不都相等，式（6.5）的解耦关系在X-Y坐标轴系不复存在。三相电压、电流必须混合在一起求解。这给电力系统的分析带来极大的不便。在下面讨论的分量系统中，就是寻找一种坐标轴系的变换是阻抗矩阵变成具有对角形的形式，从而使三相电压、电流解偶。讨论以循环对称矩阵为基础，并将所得到的结论应用到对称矩阵之中。二、分量系统的数学原理1.构造线性变换设XYZabcAVVXYZABCBII其中A和B为33阶非奇异的线性变换阵，XYZV和XYZI为新的ZYX相序下的电压和电流，即ZYXXYZVVVVZYXXYZIIII（6.7）将式（6.6）代入式（6.1），有XYZabcXYZIBZAVXYZabcXYZIBZAV1令BZAZabcXYZ1则XYZXYZXYZIZV（6.10）如若XYZZ具有对角线型矩阵的形式，即ZYXXYZZZZ000000Z那么在新的相序系统ZYX中，各相是完全分离的。分量系统就是谋求这样的线性变换。在式（6.9）中，矩阵A和B是需要确定的两个矩阵。确定该矩阵的要求是使矩阵XYZZ具有对角形的方矩阵。为使研究的问题不过于复杂，令KBA（6.12）这里，K为对角线型非奇异矩阵。即ZYXKKK000000K（6.13）在上述条件下，有BZBKZabcXYZ11（6.14）若变换BZBZabcXYZ1（6.15）能使XYZZ具有对角线矩阵形式，由于K亦为对角线型，则XYZXYZZKZ1也必为对角线矩阵。于是变换式（6.9）转化为变换式（6.15）。由线性代数理论可知：显然，式（6.15）的变换正是矩阵abcZ特征值求解变换，XYZZ的对角线元素恰是矩阵abcZ的特征值，矩阵B恰为abcZ的特征向量组成的矩阵。因此，分量系统的建立过程与求取abcZ的特征值和特征向量的过程等价。-83-832．特征值和特征向量解释什么是特征值？？设矩阵abcZ的特征值矩阵为xxx000000λ（6.17）特征向量矩阵为][ZYXcZcYcXbZbYbXaZaYaXbbbbbbbbbBBBB（6.18）其中每列对应于一相应的特征向量。如果矩阵abcZ没有一定的规律可循，那么求解其特征值和特征向量是一件困难的事。由于在电力系统不对称分析中，常用到的是对称矩阵和循环对称矩阵。因此，以下将对这两种形式的矩阵特征值和特征向量的求取方法进行讨论。在矩阵循环对称条件下，有下面的两个分量系统的定理。1）特征值定理6-1：当矩阵abcZ为循环对称矩阵时，其特征值为212211111MMZYXZZZaaaa（19）这里，23210.120jeaj。此时，B称为规范化特征向量矩阵。证明：由特征值的性质，得0211221iMMMiMMMiZZZZZZZZZ（6.21）即0)(3)(3231213MMiMMiZZZZZZ（6.22）解得)(23)(21)(23)(212121212121MMMMZMMMMYMMXZZjZZZZZjZZZZZZ（6.23）将a计入，整理得22121221MMZMMYMMXZaaZZaZZaZZZZ（6.24）212211111MMZYXZZZaaaa2）特征向量：这就是式（6.19）。对于上述三个不相等的特征值，有),,(ZYXiiabciiBZB（6.25）这里iB为B矩阵中ZYX,,之一列。如对X列有-84-84cxaxaxMMMMMMcxaxaxXbbbZZZZZZZZZbbb211221对此方程进行分析，可得出只有两个方程是独立方程。同样，对Y和Z列也只有两个方程式独立的。对X、Y和Z列列写方程时，将有六个方程，9个未知量。因此，我们可任意指定其中的三个未知量。令ZYXibai,,,1。解得111XB，aaY21B，21aaZB（6.26）这就证明了式（6.20）。定理（6-2）：当矩阵abcZ具有形如式（6.3）的MMMZZZ21的循环对称矩阵时，必有MZYMXZZZZ2（6.27）和00cZbZaZcYbYaYcXbXaXbbbbbbbbb（6.28）成立。证明：在式（6.23）中MMMZZZ21，式（6.27）就得证。由式（6.25）可得),,(0ZYZibbbZZZZZZZZZicbiaiiMMMiMMMi（6.29）对于重根Y和Z，显然有),(0111111111ZYibbbZicbiaiM（6.30）即),(0)(ZYibbbZicbiaiM（6.31）而0MZ，故只能),(0ZYibbbicbiai（6.32）这就是式（6.28）的后两式。对于单根X，由式（6.29），有0211121112cXbXaXMbbbZ（6.33）（设cXb已知，得解）解此方程得cXbXaXbbb（6.34）这就是式（6.28）的第一式，证毕。上面两个定理表明：1．当abcZ为循环对称矩阵时，变换矩阵B在规范化前提下具有唯一性。当矩阵abcZ为对称矩阵时，变换矩阵B具有多样化形式。选择时应该注意要保证矩阵B的非奇异性。2．无论abcZ是循环矩阵还是对称矩阵，其特征值i不具随意性。3．在λ及B求得后，人为地选K阵对角元素，A的取值。-85-856-3对称分量系统对称分量系统是分量系统的一种分量系统。由于该分量系统的变换矩阵具有结构简单、运算方便的特点，在电力系统中得到了广泛的应用。对于式（6.4）给出的abcZ，取2211111aaaaBT（6.35）及100010001000000ZYXkkkK（6.36）于是有TBA将ZYX,,分别用0，1，2标记，逐个称作零序，正序和负序，有abcabcabcabcITITIIVTVTVV10120121012012,,（6.37）210012000000ZZZZ（6.39）这里，10,ZZ和2Z按式（6.17）取值，若MMMZZZ21，则按式（6.27）取值。012,012IV和012Z构成了对称分量系统。称之为对称分量系统，是由于abc系统的电流和电压均能采用相位空间上完全对称的正序和负序分量以及相位空间上完全相同的零序分量迭加的方式表达。设cbaabcFFFF,210012FFFF（3.40）F即可表示电流，也可表示电压。由式（6.38），得到2102211111FFFaaaaFFFcbaabcF21022102102120210210ccccbbbbaaaaFFFFaFaFFFFFFaFaFFFFFFFFF（3.41）显然相量111,,cbaFFF在相位空间上按逆时针方向分别相差120º且模相等，称为正序分量；相量222,,cbaFFF在相位空间上按顺时针方向分别相差120º，且模相等，称为负序分量；相量000,,cbaFFF大小相等方向相同，称为零序分量。式（6.41）表明了abc系统与012系统的关系，图6-1给出了直观的表述。零序正序负序-86-86注意到对称分量系统的变换矩阵T包含复数，这给运算代来不便。但对包含旋转电机的情形，由于矩阵abcZ中的21MMZZ，它的对角化变换，仅有这样一种选择。K矩阵元素ZYXkkk，，的人为选择可以构造许多对称分量系统，但这不会带来好处，因为只有1ZYXkkk时，电流和电压才能具有相同的变换，否则将导致繁琐性。正是由于旋转电机的存在，才使得对称分量系统在电力系统中广泛应用。210,,ZZZ已成为电力系统元件的基本参数被普遍提供。6-4其它分量系统到目前为止，已发表了大量的分量系统的报