电磁场课件10矢量磁位边值问题磁场能量与力

构成方程HB基本方程表示：S0dSB（磁通连续原理）0BIllHd（安培环路定律）JH恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。3.3恒定磁场的基本方程、分界面衔接条件nnBB21KHH2t1t分界面衔接条件：3.4.1磁矢位A的引出（DefinitionMagneticVectorPotentialA)由磁通连续定理知0B称A为矢量磁位，或磁矢位。3.4磁矢位及其边值问题MagneticVectorPotentialandBoundaryValueProblemBA即：任一矢量旋度的散度恒为零。引入一个矢量函数A，使得引入矢量磁位的目的是：方便磁场的计算()0A存在矢量运算恒等式：3.4.2磁矢位A的泛定问题JA2（矢量）泊松方程0B由HJAJAA2)(矢量运算式0A取库仑规范一般，已知电流密度J，则可以先求得矢量磁位A，再求旋度得磁感应强度B，从而进行磁场的分析。矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，时间的长河无边无际，要度量时间，必须截断。AB引入矢量A，则整理环路定律得到()0A/B1AJ令无限远处A=0，类比静电场电位表达式4πxxVJAdVRVRVdπ4JA矢量合成后，得zz2yy2xx2JA;JA;JA在直角坐标系下，可展开为JA2线电流的磁矢位：dVJSdIdJl=l先对电流微元积分求矢量磁位A，再对磁位求旋度得磁感应强度B。14VdVR2Rrr4πlIdlArr矢量磁位A与电流密度矢量J同向。LLzzI21220)(dπ4]ln)[ln(π2220LLI例1应用磁矢位A，试求空气中长直载流细导线产生的磁场。)(2lnπ20LLIALLrzIdπ40解:定性分析场分布，zAeAeeABπ20IAZ磁感应强度长直载流细导线的磁场考虑分界面上A的切向和法向连续性a)围绕P点作一矩形回路，考虑回路面上的磁通量，则mdSΦBS当时,02L,0d,0mlAlΦ磁矢位A的衔接条件ttAA21(1)有与ttlEE21,0dlE对比3.4.3矢量磁位的边界条件mddSlΦBSAl一种计算磁通的方法：()dSASdlAlb)围绕P点作一扁圆柱，则dSAS表明：媒质分界面上磁矢位A是连续的。由式(1)、(2)得21AA当时，0L,0n2n1SASA2n1nAA(2)磁矢位A的衔接条件VdVA0由得KHH2t1tKAAtt)(1)(12211另外，12AAKnAnA221111恒定磁场定解问题描述为：AAe对于平行平面场，例如矩形截面螺线管线圈产生的xy平面磁场，其矢量磁位为2AJ实际磁场问题变成了求解矢量磁位A的泊松方程的定解问题。4πlIdlArr恒定磁场定解问题OD1D2xyzIaP(,)J00长直载流圆导线的磁场例3-9一半径为a的带电长直圆柱体，J=Jez，试求导体内外的磁矢位A与磁感应强度B。[解]如图所示，选圆柱坐标系，则J＝Jez，故矢量磁位A＝Az()ez仅有z向分量，且由场的对称性可知Az仅为坐标的函数，其边值问题为211022212120010d1dddd1d0dddd110,ddzzzzzzzzzAAJaAAaAAAAaA有限值直接积分两次，得通解20112ln4zJACC＝－同理可得234lnzACC＝由定解条件，可解得上述四个待定积分常数为22200012340ln422JaJaJaCCCCa＝，＝，＝-，＝故22014zJAaa202ln2zJaaAa由B＝A得001222πJIBaa200222πJaIBam—标量磁位A（安培）3.5标量磁位及其边值问题m3.5.1磁位(DefinitionMagneticPotential)m安培环路定律：无电流区0HmHlHdml磁位仅适合于无自由电流区域;m引入一个标量函数，使得m定义:磁场中两点之间的磁压UmAB：(磁势)mAmBmABU磁路欧姆定律：mmUR()0存在矢量运算恒等式：Ni在直角坐标系中02m22m22m2m2zyx2.分界面上的衔接条件由2n1n2t1tBBHHnn2m21m12m1m0m2（仅适用于无电流区域）1.微分方程m0HH0Bmm)(mH003.5.2磁位的边值问题m定解问题各向同性求解恒定磁场问题，归结为求解满足给定边值条件的泊松方程或拉普拉斯方程问题。矢量磁位A、标量磁位φm与电位φ的比较3.6镜像法(唯一性定理)联立求解，得IIII12112122,21ttHHIIIsinr2Isinr2Isinr2I由得由得I)II(cosr2Icosr2Icosr2I21211n2n1BB例3-6-1图示一载流导体I置于磁导率为的无限大导板上方h处，为求媒质1与媒质2中的B与H的分布，试确定镜像电流的大小与位置？2解:根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定与。II图3-21两种不同磁介质的镜像例3.6空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流I位于空气中，试求磁场分布。0空气中)rIrI(2221101eeB铁磁中22220020222()2IBHrIIrr空气中B线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面。镜像电流解：图3.6.2线电流I位于无限大铁板上方的镜像2202002II0022III02220BH120ttHHBI3.7电感NSdBS磁通：磁链：与电流回路铰链的磁通总和。1.根据产生磁链的回路情况分：内磁链：磁力线穿过电流导体内部，与导体的部分电流交链的磁通。外磁链：磁力线不穿过电流导体，与导体的全部电流交链的磁通。2.根据产生磁链的电流情况分：自感磁链：由回路电流自身产生磁通；互感磁链：由其他回路电流耦合到当前回路的磁通。3.7.1自感（Self-Inductance）在线性媒质中，电流回路的自感磁链与其回路电流的比值为自感。H（亨利）ILL=内自感Li+外自感L0求自感的一般步骤：设),(0iLLLΦIBHAio内外磁链之和导线回路内自感远小于外自感，可忽略。自感磁链3.7.2互感（MutualInductance）互感它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。计算互感的一般步骤：设d22121111sSBΦBHI12121IΨMΨA21M可以证明21212IM,12121IM12121IMH（亨利）互感磁链在线性媒质中，电流回路之间的互感磁链与产生互感磁链回路电流的比值为互感。3.7.3诺依曼公式（Neumann’sFormula）求两导线回路的互感互感21122112121ddπ4lloMRIΦMll设回路1通以电流I1，则空间任意点的磁矢位为1110dπ4lRIlA穿过回路2的磁通为212110d)d(π4llRIll21SΦdBS两个细导线电流回路(由磁失位计算电感的一般表达式)22dlAl3.8.1恒定磁场中的能量3.8磁场能量与力磁场来源于电流，磁场能量的存储过程，就是电流建立的过程。diuLiRdt2000tItiudtLidiiRdt电源发出的总功电源反抗自感的功电阻上的损耗热uKRL2diiuLiiRdt通电线圈中的磁能若忽略能量损失，则电源做功全部转化为磁场储能。0tdWiudt注意：电源发出总功为0tdidtiddt21111122nnnmkkijijkijWLIMII112nkkkI对于n个电流回路组成的系统，磁场能量的表达式为：自有能互有能212mWLI电源反抗自感作功过程，也是线圈中磁场的建立的过程。可见，电源克服自感电动势所作的功，就转化为线圈L中的磁能:是回路单独存在时的能量，称为自有能量。212kkLIMijIiIj与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。LI12mWILIMI(磁场能量=1/2电源做功)由矢量恒等式AHHAAH)(3.8.2磁场能量的分布及磁能密度knkkIW1m21nkkVVk1d21JASVd21HAlAd211nklkkIn得VVWVVd21d)(21mBHAH0SVVBHSAHd21d)(21第一项为02d,1,1rSrr2AH由于r所以时，kkkSlddBSAlJHBAkIddVl=Jm1d2VWVHBJ（焦耳）磁能密度m12mWwVHB3mJ磁场能量是以场密度形式储存在空间中。空间存储的磁场能量为：221122BH单位体积内的能量密度即为力密度。212Bf磁力密度（磁压）解:由安培环路定律121022210π2π22dlHdlH1220ln41π4lI自感1202mln41π22lIWL例3.8.1试求长度为l,通有电流I的同轴电缆储存的磁场能量与自感。磁能VWVd21mBHVVHd212012110π2π2eeHII212π2eHI同轴电缆截面1.安培力BlFlId解:定性分析场分布B板的磁场)(20yaIeBA板受力SSBKFd)(2)(d00yazaIybaIee)(220xabIe例3.8.2试求载流导板间的相互作用力。两平行导板间的磁力3.8.3磁场力(MagneticFieldForce)dIdFlB2.虚位移法电源提供的能量=磁场能量的增量+磁场力所做的功1）常电流系统外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。constmddkIWgfn个载流回路中，当仅有一个广义坐标发生位移dg，系统的功能守恒是广义力constmkIgWfgfIInkkkknkkd)21(d)(d11即WI12mWIfWfg2）常磁链系统constmddkWgf磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量广义力constmkgWf取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁能，便可求得相互作用力。两种假设的结果相同，即constmconstmkkgWgWfId0WIdd0Imddd0WWfgd0GS导轨电枢ivpiDCS驱动线圈抛体线圈同轴线圈型电磁推进器导轨型电磁推进器借助电磁力推进抛体加速运动的技术电磁推进技术V2km/sV～1km/s线圈型电磁推进模式加速力的计算△xFyFxFxBR直螺线管线圈