电磁场课件5分离变量法有限差分法有限元法

《电磁场》教案公共邮箱—文件中心—网盘：账号：[e-mail]密码：scu20151425362泊松方程E0ED所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程)DE微分方程边界条件外边界条件内分界条件21＝nn2211)()3sfnS＋（环路定律高斯定律静电场定解问题1.4静电场定解问题（边值问题）静电场定解问题静电场定解问题1.5分离变量法分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。1.5.1解题的一般步骤：2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；3）解常微分方程，并叠加得到通解；1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。只含有一个变量的微分方程，采用积分法求解。含有两个变量的微分方程，可以采用分量变量法求解。例1.5.1试求长直接地金属槽内电位的分布。解:1）确定边值问题1.5.2应用实例1.直角坐标系中的分离变量法（二维场）xayxaxayayaxaxyayxsin100000,0,0,00,022222（D域内）图1.5.1接地金属槽的截面yxasin1002）分离变量试探解)()(),(21yxyx2222d0dy2112d0dx，则-分离常数,220,00,nnkk＝和有22122212dd11ddxy设0dd1dd122222121yx代入微分方程得222220xy电位方程为——二阶常系数齐次方程——拉普拉斯方程双曲函数212222d0dd0dxy2211222222d0dd0dnnkxky1()cossinnnnnxAkxBkx100()xAxB200()yCyD2()nnnnyCshkyDchky1()nnjkxjkxxAeBe120000(,)()()()()xyxyAxBCyD即kn为实数时，12(,)()()(cossin)()nnnnnnnnxyxyAkxBkxCchkyDshky若，20nk若，20nk()(cossin)nnnnnnnnAchkxBshkxCkyDky若，20nk2()nnkykyyCeDesinh()2cosh()2xxxxeexeexcossinixexix3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。00B''sin'sin0nnnnnBDkaFka(1,2,3)nnkna0)0000axyaA左侧0)00000nbyxaCC底)00cxaya右侧yanshxanFyx1nn)sin('),(图1.5.1接地金属槽的截面yxasin100))sh(')ch('))(sin(')cos('())sin()cos())(sh()ch((11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn))(()()(000021yDCxBAyx通解'1sin()('ch()'sh())nnnnnnnBkxCkyDky(,)xy沿x方向作正弦变化，知0nnnABA题设''1sin()sh())nnnnnBDkxky)πsin()π(sh')πsin(1001xannFaxnn比较系数求常数当时，1n)πsh()πsin(shπ100),(yaxayx当时，1n100shπ'1Fshπ100'1F1ππ(,)'sin()sh()nnnnxyFxyaa等式无法成立！若金属槽盖电位，再求槽内电位分布？0U＝通解)π(sh)πsin),1yanxanFyxnn（（)πsin()πsin()π(sh110xanExannFUnnnn＝等式两端同乘以，然后从积分xamπsina0(1)d)πsin()πsin(d)πsin(1000xxamxanExxamUnana左式)πcos1(π0mmaU1,3,5,...π20,2,4,...00mmaUm当时，0U＝ay右式＝nmEaxxanEnmnn2d)π(sin02a0代入式（1）)πsh('22π20nFaEamaUnn代入通解)πsh()πsin(πsh1π4),(10yanxannnUyxnn＝奇数1,3,5,...ππsh4'0nmnnUFn图1.5.3接地金属槽内的等位线分布解：1）取圆柱坐标系，边值问题001)(1222122112aa0cos，010221021EExa根据对称性0)2,(),(),(及例1.5.2垂直于均匀电场E放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外和E的分布。均匀电场中的介质圆柱棒自然边界条件当时，0n000000)(ln)(DCBAR，当时，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)()(，)sincos()(1nDnCBAnnnnnnn代入方程整理分离变量,设)()(),(R0dd1dddd22222＋RRRR))(ln(),(0000DCBA3）通解0dddd2222RnRR拆分为两个方程0dd222n2）根据（自然边界条件），得cos01E当时，1n，EABA100，0nBEnnncoscos),(11根据0，00002nBBA12cos),(nnnnA4）利用给定边界条件确定积分常数当时，1n，00noABAnBABAnnnnncos)()ln(),(100通解根据),(),(0,00nDC得到比较系数121011)(AaBEaAaBEa和当n=1时，当时，An=Bn=0，则最终解1n1111011cos)coscos(coscoscosnnnnnnnnnnnnnanAnaBEnaAnaBEa由分界面的衔接条件，得acos)()(cos),(0201EaEaa0cos2cos)1(),(00002EEaEaesin)()(12020xxExeeE002222a0介质圆柱内外的电场eEcos)()(1202011Ea求电场强度E1.6有限差分法1.6.1二维泊松方程的差分格式Fyx2222（1）二维静电场边值问题基本思想：将场域离散为许多网格，应用差分原理，将求解连续函数的微分方程问题转换为求解网格节点上的代数方程组的问题。（2）)(LfL有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h,节点0,1,2,3,4上的电位分别用表示。01234,,,,令h=x-x0，将x=x1和x3分别代入式(3)0333022200303330222001)(!31)(!21)()(!31)(!21)(xhxhxhxhxhxh（4）（5）))((0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK（3）由式（4）+（5）2301222)(0hxxx（6）2402222)(0hyyy（7）同理,沿x方向在x0处的泰勒公式展开为2043214Fh当场域中00404321若场域离散为矩形网格,宽h1×高h2，差分格式为13240222212121111()()()2Fhhhh1.6.2矩形网格剖分—五点差分格式20将式(6)、式(7)代入式，得到Fyx2222)(41243210Fh即应用五点差分格式构建方程组右图，对该区域划定4×4方格，内点为1-9，边界为f1-f16，对待求的9个点，逐点列差分方程在场域内每一节点都有一个差分方程，再结合边界上的电位关系，构成方程组，联立求解可得各个节点的电位值。2043214Fh1.6.2边界条件离散化（DiscreteBoundaryCondition)第二类边界条件hfhnf2100102,)(＝)2(4124210Fh第一类边界条件分界面衔接条件对称边界条件,)1212(4143210KKKbaK其中图1.6.5介质分界面10f图1.6.3对称边界图1.6.4对称分界1.6.3差分方程组的求解方法(SolutionMethod)2、高斯—赛德尔迭代法][412)(1,)(,1)1(1,)1(,1)1(,Fhkjikjikjikjikji迭代过程直到节点电位满足为止。)(,)1(,kjikji3、超松弛迭代法]4[4)(,2)(1,)(,1)1(1,)1(,1)(,)1(,kjikjikjikjikjikjikjiFh式中：a—加速收敛因子（1a2）网格编号2,1,,11,,11[]4ijijijijijFh1、基本迭代法2043214Fh2012341[]4Fh一般迭代式：边界节点赋已知电位值赋内节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求)1(,Nji打印),(jiN，NY程序框图)(,)1(,kjikji作业分量变量法：P35:1-5-1有限差分法：P40:1-6-3电磁场有限元法（FiniteElementMethod,FEM）有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本节以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。加权余量法回顾：对算子方程用作近似解：代入方程得余量：1.有限元法基本原理与实施步骤：一维问题()Luf1niiiuu()RLuf在有限元法中，基函数一般用表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同，使其与余量正交化：(,)[()]d0iiNRNLuf(1,2,,)iniNφi—基函数；αi—系数[()]RLufβ—权函数L()—为线性算子若L为线性算子，设，代入加权余量正交公式得11[()]d[()]d0nnijjijjjjNLuNfNuLNf1niiiuuN或(1,2,,)in1()ddnjijijuNLNNf得代数方程组：加权