电磁波群速度与相速度原理

电子信息工程学院QuencyChen1.相速度与群速度如果只考虑均匀介质中的小幅度的波，可利用描述介质的方程和麦克斯韦方程得到一常系数方程组，求解可得到解为：)exp(tjrkj(1)的解其中k为波矢量，r为空间位置矢量，ω为角频率。式(1)中的ω和k满足：0),(kF(2)的关系，这个关系只与介质的特性有关，称为色散关系。式(1)描述的电磁波，ω表征波的时间变化，波矢量k描述波的空间变化。2k(3)式(3)中λ为波长，因此波矢量k=1/λ表示单位距离有多少个波，即波的数量，然后再乘以2π表示单位距离内波的总相位，若把空间相位变化2π相当于一个全波，则k表示单位距离内全波的数目，k也被称为电磁波的相位常数，因为它表示传播方向上波行进单位距离时相位变化的大小，注意这里相位单位为弧度制。将(1)式变形为：)]()(exp[ttjrrjk(4)若满足0trk(5)，则式(4)和式(3)一样，这说明在空间距离延长Δr的位置处，若在时间上也滞后Δt则信号相位与r处t时刻的相位保持一致。这说明r处的波相位在Δt时间后传播到r+Δr处，因此将式(5)变形可得到trkV(6),表示波的相速度由角频率和波矢量共同决定。在真空中电磁波的相速度为c。折射指数n定义为：kcVcn(7)，由于介质中电波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速，所以折射指数也可能大于1，也可能小于1。如果限制ω是实数，若有一解，使得k和n也是实数，则代表无衰减的波传播。若k和n为纯虚数，则相应的波是消散波。波场强度随距离指数地减小。如果将介质等效为阻抗负载，则实数负载代表介质从输入端口全部吸收能量，然后又从输出端口全部放出能量，类似传输线特性；如果负载为虚数，则代表负载从输入端口全部吸收能量后，又从输入端口全部释放出去，因此电波就不能传播，只能到达一定的深度后就反射出去了，类似界面反射。如果k和n即有实部又有虚部，则波的传播伴随着衰减（或增长）。如果ω和k是实数，且是常数，则上述平面波将充满整个空间。波的相速度可以远大于光速，这时波的传播既不输送任何能量，也不传送任何信息。实际上对于稳定的单频单色波，根本没有传输的概念，要利用电磁波来传输信息，本质上是传送变化量，而且变化量必须要有带宽，不可能是单色单频信号。这与“Shannon定律”是一致的，因此要研究信息传递的速度，必须要研究有一定带宽的波包的传递速度。即群速度。根据傅里叶变换的方法可以将波包看做单色波的叠加，波包的传播表现为单色波振幅和相位叠加效应的传播，而不是单色波的相位传播。所以波包的传播速度被定义为等幅面的传播速度，即群速度。这里先考虑最简单的情况，两个等幅度，相位和频率有一定偏差的双频信号])()[(])()[(),(trkkjAetrkkjAetrE(8)利用三角公式)2cos()2cos(2coscosbababa)2cos()2sin(2sinsinbababa可以将式(8)转换为：)()cos(2),(tkrjetkrAtrE(9)如果只考虑包络)cos(2tkrA等幅度面的传播，设波包包络在Δt时间移动了Δr距离。注意不是单频波相位移动的距离和时间。tkrttrrk)()(trkktrVg(10)若介质没有色散效应，则群速度与相速度一致。如真空中电磁波传播速度恒等于kc，因此kckkkkc。若介质存在色散效应，即kkkk，则群速度不等于相速度。这里还要注意一个问题就是式(9)波包传播时，两个正弦波合成后的相位因子)(tkrje的传播并不与波包包络一致，我一开始就是因为这个概念弄错了，所以一直不能正确理解和计算，花了半天时间才想明白这个问题。01020304050607080-6-5-4-3-2-1012图1群速度=相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.1)01020304050607080-6-5-4-3-2-1012图2群速度小于相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.05)01020304050607080-6-5-4-3-2-1012图2群速度大于相速度(k=1,deltak=0.05,w=1,deltaw=0.1)以上是从最简单的双频正弦波叠加来讨论波包的概念。式(9)中的包络与后面的相位因子是无关的，后面的相位因子类似调制中的载波。波包在传递过程中保持不变。也只有这样才能认为波包在稳定传播。如果考虑有3个单频波，分别为s1,s2和s3,则利用公式(8)可得到s12,s23,s31三个子波包。总的波包则等于2)312312(sss，根据式(10)则可以得到3个群速度VG12，VG23，VG31，若这3个群速度不相等，则波包包络不能稳定传输（或者产生更高阶的波包），反过来若要波包稳定传输则必须VG12=VG23=VG31.即ω对k的函数必须是单调的（或者在ω，k附近单调）。则将式(10)进一步基本化为式(11)kkVktrVgg)((11)其中)(k由色散关系决定。将式(11)可变为：0)(tkrkVtrg(12)0trk(13)如果从0位置0时刻开始则0trk(14)若考虑多个单频波叠加可表示为：......])2(2[)2(])1(1[)1(),(tkrkjekAtkrkjekAtrE(8)若考虑到实际上波包是由无数个单频信号组成，可以写成积分形式为：dktkkrjekAtrE))(()(),((15)式15中E(r,t)中的r和t表示波包的r和t。