第六章解线性方程组的迭代法

第六章解线性方程组的迭代法姓名张云龙班级信息计算141802学号201418030230一、本章学习体会本章介绍了解线性组的一些基本迭代法，例如雅克比迭代法斯-赛德尔迭代法、SOR迭代法。线性方程组真的很有用，而其在科学研究等很多方面的确有更广泛深入的应用，由于无法让计算机去使用克莱默法则或者高斯消元法这样的纯数学方法来进行求解。现在学习了迭代法，了解了在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可以利用矩阵中有大量零元素的特点；另外迭代法有储存空间小，程序简单等特点，是解大型稀疏线性方程组的有效方法。二、本章知识梳理（1）迭代法的一般形式及其收敛性（a）一般形式：,2,1,0,)()1(kdXGXkk（b）向量序列的收敛（极限）:按坐标收敛：*)(limXXkk*)(limikikxx按范数收敛：*)(limXXkk0lim*)(XXkk（c）迭代公式的收敛性：,)0(SX在S内收（2）迭代收敛的条件（a）迭代收敛的充要条件：oGkklim迭代收敛的充要条件：1)(G（b）迭代收敛的充分条件：，则的某种算子范数如果有定常迭代法及一阶设有方程组迭代法收敛的充分条件1).6.1()1.1(qBB)定理6(；，且，意）迭代法收敛，即对任（fBxxxxx***lim1)()0(kk；）（)0()(**2xxxxkkq；）（)1()()(1*3kkkqqxxxx.1*4)0()1()(xxxxqqkk）（（3）Jacobi迭代（a）Jacobi迭代的基本思想:（b）Jacobi迭代格式：)(1ijjijiiiixabaxnixabaxijkjijiiiki,,2,1),(1)()1(（c）Jacobi迭代矩阵)(11ULDADIGJ（d）Jacobi迭代收敛的条件:充要条件：1)(JG充分条件：1JGA为主对角线按行（或列）严格对角占优阵：按行严格对角占优：niaanijjijii,,2,1,,1按列严格对角占优：njaanjiiijjj,,2,1,,1（4）Gauss-Seidel迭代（异步迭代法）（a）分量形式:nixaxabaxijnijkjijkjijiiiki,,2,1),(1111)()1()1(（b）矩阵形式：bLDUxDLxkk1)(1)1()()(（c）GS迭代矩阵：UDLGG1)(（d）GS迭代收敛的条件：充要条件：1)(GG充分条件：1GG主对角线按行（或列）严格对角占优阵系数矩阵A对称正定.（5）GS迭代与Jacobi迭代收敛的关系（a）通常情况下GS迭代优于J迭代；（b）GS迭代与J迭代在收敛性上没有相互包含关系。(6)逐次超松弛迭代法（SOR迭代）（a）SOR迭代的基本思想：GS迭代：)(1111)()1()1(ijnijkjijkjijiiikixaxabax（b）计算公式：])11([111)()()1()1(iiiijnijkikjiiijkjiiijkiabxxaaxaax（c）SOR迭代收敛的条件：充要条件：1)(SG必要条件：20充分条件：1sG系数矩阵A为主对角线按行（或列）严格对角占优阵（弱对角占优不可约）系数矩阵A为正定矩阵三、本章思考题收敛速度与松弛因子的选择有关，如何选择松弛因子？有没有最优的松弛因子？四、本章测验题给定方程组123211111111121xxx试考察用Jacobi迭代法和Seidel迭代法求解的收敛性。解：对Jacobi迭代法，迭代矩阵为-1J00.50.5B=I-DA=1010.50.50因为3504JIB，得特征值123550,,22ii得512JB，由定理知Jacobi迭代法发散。对Seidel迭代法，迭代矩阵为1SBDLU=120001100.50.511000100.50.5112000000.5显然，其特征值为1230,0.5故()0.51sB，由定理知Seidel迭代法收敛。