第六章边值问题差分法简介

第第六六章章边边值值问问题题差差分分法法简简介介我我们们考考虑虑如如下下简简单单边边值值问问题题。。12''()()()()(),()yxgxyxfxaxbyadybd其其中中，，(),()gxfx为为已已知知函函数数，，()0gx（（为为了了解解方方程程收收敛敛））。。12,dd为为已已知知常常数数。。我我们们要要求求函函数数()yyx，实实质质是是关关心心两两个个数数域域之之间间的的对对应应关关系系：：xy所所以以我我们们知知道道一一系系列列ix对对应应的的iy就就足足够够了了，，所所以以这这类类问问题题解解决决思思路路是是将将方方程程离离散散化化，，转转化化为为解解一一个个现现行行方方程程组组。。首首先先，，用用分分点点0123,,2,3,...,nxaxahxahxahxanhb将将区区间间nn等等分分，，hh为为步步长长，，0,1,2,...,ixin称称为为节节点点。。其其次次在在[[aa，，bb]]内内每每个个内内部部节节点点1,2,...,1ixin上上用用数数值值微微分分公公式式。。11112211''()(2)(2)iiiiiiiyxyyyyyyhh替替代代原原方方程程中中的的二二阶阶导导数数得得在在节节点点1,2,...,1ixin满满足足的的关关系系是是式式：：11221121(2)()()()1,2,3,...,11((2()))()1,2,3,...,1iiiiiiiiiiiyyygxyxfxinhyhgxyyfxinh注注意意：：上上式式是是关关于于未未知知数数为为11,,iiiyyy的的线线性性方方程程。。我我们们有有nn--11个个这这样样的的方方程程，，组组成成方方程程组组。。未未知知数数0,1,2,3,...,iyin，，共共nn++11个个。。再再加加上上边边值值条条件件012,nydyd，，nn++11个个未未知知数数，，nn++11个个方方程程，，方方程程组组封封闭闭。。解解此此线线性性方方程程组组，，得得到到问问题题的的数数值值解解。。方方程程组组为为：：20112122122322011((2()))()11((2))()2..........yhgxyyfxihyhgyyfxihyd21121((2))()...........iiiiiyhgyyfxiih22111221((2))()1nnnnnnyhgyyfiyxdnh矩矩阵阵形形式式：：2(2)iiThg211112222221112111..................11................1iiinnnhfdTyTyhfTyhfTyhfd由由于于()0gx所所以以，，对对角角占占优优矩矩阵阵，，用用追追赶赶法法求求解解。。解解决决实实际际问问题题，，首首先先，，用用分分点点012,,2,...,nxaxahxahxanhb将将区区间间nn等等分分；；再再直直接接计计算算2(2),()iiiiThgffx得得到到线线性性方方程程组组出出发发，，解解之之。。例例：：一一维维无无限限深深势势阱阱()0()UxxaUxxa边边值值问问题题为为：：2222()()0dExamdxaa令222()(,),mEyxxk，，则则有有：：2''()(),()()0yxkyxyaya设设aa==11故故区区间间为为[[--11，，11]]离离散散化化NN==1100，，步步长长0.2h''()()()()yxgxyxfxaxb即212(),()0,0gxkfxdd22(2)(20.04)iiThgk常数12910110..................110................10iyyyy*非零解=1111111011111**解出近似本征值代入*，解出yi白色REALAA(120,120),BB(120),Y(120)G(x)=-10.F(x)=0.A=-1.B=1.D1=0D2=0N=100H=(B-A)/Nh=0.02ETT=-(2-h*h)ett=-1.5write(*,*)'ett=',ettDOI=1,N-1DOJ=1,N-1AA(I,J)=0.IF(ABS(J-I).EQ.1)AA(I,J)=1.ENDDOAA(I,I)=-1.0*(2.+h*h*G(A+I*H))BB(I)=H*H*F(A+I*H)ENDDOBB(1)=BB(1)-D1BB(N-1)=BB(N-1)-D2Y(1)=1.0Y(2)=-1.0*ETT*Y(1)cy(2)=1.DOI=3,N-1Y(I)=-1.0*Y(I-2)-ETT*Y(I-1)ENDDODO200I=1,N-1200WRITE(*,*)A+I*H,y(I)STOPEND