第六篇检测试题

第六篇检测试题(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号不等关系与不等式1、2一元二次不等式及其解法4、10、17、18简单的线性规划问题7、8、9、14、19基本不等式6、10、13、21合情推理与演绎推理3、12、15、16直接证明与间接证明5、20数学归纳法11、22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2012厦门模拟)设命题p:若ab,则,q:若0,则ab0.给出以下3个复合命题,①p∧q;②p∨q;③�p∧�q.其中真命题的个数为(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:p为假命题,q为真命题,所以只有②正确,故选B.2.设0ba1,则下列不等式成立的是(C)(A)abb21(B)lobloa0(C)2b2a2(D)a2ab1解析:可取a=,b=验证.故选C.3.(2011湛江模拟)已知A,B为△ABC的两个内角,则AB是sinAsinB的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB.故选C.4.已知函数f(x)={-若f(2-m2)f(m),则实数m的取值范围是(D)(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:画出函数f(x)的图象如图,由图可知该函数在R上是减函数,所以f(2-m2)f(m)等价于2-m2m,即m2+m-20,所以m1或m-2,故选D.5.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(C)(A)||2=·(B)||2=·(C)||2=·(D)||2=··解析:对于A,·=||||cosA=||2;对于B,·=||||cosB=||2;对于C,·=||||cos(π-∠ACD)=-||||cos∠ACD=-||2≠||2;对于D,由A、B知,(·)(·)=||2·||2=||2||2,故选C.6.在算式“△+=△”的两个、△中,分别填入两个正整数,使它们的倒数之和最小.则这两个正整数构成的数对(,△)应为(D)(A)(4,14)(B)(6,6)(C)(3,18)(D)(5,10)解析:题中的算式可以变形为“4×+1×△=30”.设x=,y=△,则4x+y=30.30(+)=(4x+y)(+)=5+(+)≥5+2√=9.当且仅当=,即x=5,y=10时取等号,所求的数对为(5,10).故选D.7.设不等式组{--表示的平面区域为M,斜率为-1的直线l与M相交于不同的两点P、Q,若线段PQ的长度为整数,则这样的直线l的条数是(D)(A)5(B)8(C)9(D)10解析:M是由点A(2,5)、B(2,-3)、C(-6,-3)构成的三角形内部及其边界区域,B到直线x-y+3=0的距离为4√,且直线l与AC垂直,故|PQ|的最大值为4√,故|PQ|能取得的整数值为1,2,3,4,5,由对称性可知这样的直线l有10条.故选D.8.已知实数x,y满足条件{-,则目标函数z=2x-y(D)(A)有最小值0,有最大值6(B)有最小值-2,有最大值3(C)有最小值3,有最大值6(D)有最小值-2,有最大值6解析:画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.当目标函数z=2x-y过直线x=3与直线y=0的交点A(3,0)时,目标函数取得最大值6;当目标函数z=2x-y过直线x=0与直线x-y+2=0的交点C(0,2)时,目标函数取得最小值-2.故选D.9.已知x,y满足约束条件{-若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在点(,)处取得最大值,则实数a的取值范围是(A)(A)(-1,1)(B)(0,1)(C)(-2,2)(D)(-1,0)解析:由x,y满足约束条件{-画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由目标函数z=ax+y,得y=-ax+z,因为z仅在点(,)处取得最大值,所以得-1-a1,得实数a的取值范围是(-1,1).故选A.10.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围为(C)(A)(-∞,-√](B)[√,+∞)(C)(-∞,-√]∪[√,+∞)(D)[-√,√]解析:∵x∈(0,2],∴a2-a≥=.要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥()max,由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即()max=.故a2-a≥,解得a≤-√或a≥√.故选C.11.用数学归纳法证明:“(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1×3×…·(2n-1)”,则n=k+1与n=k时相比左端需增乘的代数式为(B)(A)2k+1(B)2(2k+1)(C)(D)解析:当n=k时等式的左端为:(k+1)·(k+2)·…·(k+k)当n=k+1时,等式的左端为:(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+k)·(2k+1)·(k+1+k+1)=(k+1)·(k+2)·…·(k+k)··=(k+1)·(k+2)·…·(k+k)·2(2k+1)因此从“k到k+1”左端需增乘的代数式为2(2k+1),故选B.12.(2011临汾模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2009,则i与j的和为(C)124357681012911131517141618202224…(A)105(B)106(C)107(D)108解析:由三角形数表可以看出,其奇数行为奇数数列,偶数行为偶数数列,2009=2×1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2009在第32个奇数行内,所以i=63;因为第63行的第一个数为2×962-1=1923,2009=1923+2(j-1),所以j=44,i+j=107.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设x0,则函数y=x+-1的最小值为.解析:由题意知y=x+-1=(x+)+-≥2√·-=,当且仅当x+=,即x=时等号成立.即函数y=x+-1的最小值为.答案:14.某食品厂为了扩大宣传,需做2个文字版面,3个绘画版面,现有甲、乙两种规格的纸张,甲种规格的纸每张3m2,可做文字版面1个,绘画版面2个;乙种规格的纸每张2m2,可做文字版面2个,绘画版面1个.为了节约费用,使总共用的纸张的面积最小,则该食品厂需要买甲种规格的纸张,乙种规格的纸张.解析:设用甲种规格纸x张,乙种规格纸y张,由题意得{∈∈,所用纸的总面积为S=3x+2y,作出不等式组表示的可行域,当直线S=3x+2y过x+2y=2与2x+y=3的交点M(,)时S取得最小值,又x∈N,y∈N,故需要买甲、乙两种规格的纸各1张.答案:1115.(2011湛江模拟)设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有a+bc+h成立,某同学通过类比得到如下四个结论:①a2+b2c2+h2;②a3+b3c3+h3;③a4+b4c4+h4;④a5+b5c5+h5.其中正确结论的序号是;进一步类比得到的一般结论是:.解析:可以证明②③正确,观察②a3+b3c3+h3,③a4+b4c4+h4可得:an+bncn+hn(n∈N*).答案:②③an+bncn+hn(n∈N*)16.(2011南昌模拟)观察下列等式:12=1,12-22=-3,12-22+32=6,12-22+32-42=-10…由以上等式推测到一个一般的结论:对于n∈N*,12-22+32-42+…+(-1)n+1·n2=.解析:当n为奇数时,12-22+32-42+…+n2=12+(32-22)+…+[n2-(n-1)2]=1+2+3+…+n=,n为偶数时,12-22+32-42+…+(n-1)2-n2=-[1+2+3+…+(n-1)+n]=-,∴12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.答案:(-1)n+1·三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2011烟台模拟)解关于x的不等式x2-x+a-a20.解:由题意得(x-a)[x-(1-a)]0当a1-a,即a时,ax1-a,不等式的解集为(a,1-a).当a1-a,即a时,1-axa,不等式的解集为(1-a,a).当a=1-a,即a=时,不等式的解集为⌀.即a时,不等式的解集为(a,1-a);a=时不等式的解集为⌀;a时,不等式的解集为(1-a,a).18.(本小题满分10分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.解:因为f(x)+2x0的解集为(1,3),所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)且a0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a,①(1)由方程f(x)+6a=0得:ax2-(2+4a)x+9a=0,②因为方程②有两个相等的实根,所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0,解得:a=1(舍去)或a=-.将a=-代入①得f(x)的解析式为:f(x)=-x2-x-.(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a--,由a0,可得f(x)的最大值为-,所以-0,且a0,解得:a-2-√或-2+√a0,故当f(x)的最大值为正数时,a的取值范围是(-∞,-2-√)∪(-2+√,0).19.(本小题满分12分)某人在国庆节那天上午7时,乘摩托艇以v千米/时(4≤v≤20)匀速从A港出发到距50千米的B港去,然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)匀速自B港向距300千米的C市驶去,应在同一天下午4点至9点到达C市,设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x,y小时.(1)作图表示满足上述条件x,y的范围;(2)如果已知所需经费p=100+3(5-x)+2(8-y)(元),那么v,w分别是多少时走的最经济?此时花费多少元?解:(1)由题意得v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100,所以①由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14个小时之间,即9≤x+y≤14,②满足①、②的x,y的可行域是图中阴影部分(包括边界).(2)因为p=100+3(5-x)+2(8-y),所以3x+2y=131-p,设131-p=k,那么当k最大时,p最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为-的直线3x+2y=k中,使k值最大的直线必通过点(10,4),即当x=10,y=4时,p最小.此时,v=12.5千米/时,w=30千米/时,p的最小值为93元.20.(本小题满分12分)(2012泰安模拟)在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=,试问A、B、C是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明.解:A、B、C成等差数列.证明如下:∵+=,∴+=3,∴+=1,∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),∴b2=a2+c2-ac.在△ABC中,由余弦定理,得cosB=-==,∵0°B180°,∴B=60°.∴A+C=2B=120°,∴A、B、C成等差数列.21.(本小题满分12分)(2012泰州模拟)如图,公园有一块边长为2的等边三角形ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,则DE的最小值应为多少?如果DE是参观线路,希望它最长,则DE的最大值应为多少?解:(1)在△ADE中,y2=x2+AE