第六讲_立体几何之点线面之间的位置关系

]第1页共6页CBAl3l2l1第六讲立体几何之点线面之间的位置关系考试要求：1、熟练掌握点、线、面的概念；2、掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；3、掌握点、线、面垂直、平行的性质知识网络：知识要点：1、公理（1）公理1：对直线a和平面α，若点A、B∈a,A、B∈α，则（2）公理2：若两个平面α、β有一个公共点P，则α、β有且只有一条过点P的公共直线a（3）公理3：不共线的三点可确定一个平面推论：①一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面③两条平行直线可确定一个平面（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角θ的范围是00θ≤900例1、已知直线1l、2l和3l两两相交，且三线不共点.求证：直线1l、2l和3l在同一平面上.空间图形的关系空间基本关系与公理平行关系垂直关系公理点、线、面的位置关系判定性质应用应用性质判定]第2页共6页例2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值.分析:可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种:（1）三个平面相互平行（2）两个平面相互平行且与第三个平面相交（3）三个平面两两相交且交线重合（4）三个平面两两相交且交线平行（5）三个平面两两相交且交线共点例3、已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。求证：四边形是梯形。例4、如图，A是平面BCD外的一点,GH分别是,ABCACD的重心，求证：//GHBD．例5、如图，已知不共面的直线,,abc相交于O点，,MP是直线a上的两点，,NQ分别是,bc上的一点奎屯王新敞新疆求证：MN和PQ是异面直线奎屯王新敞新疆例6、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1NMHGDCBAcbaQPNMOA1B1C1D1DCBA]第3页共6页所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是直线与平面平行、平面与平面平行1、直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内2、直线和平面平行的判定及性质（1）判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行）（2）性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行线线平行）3、两个平面的位置关系：平行、相交4、两个平面平行的判定与性质（1）判定如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（2）性质如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离例1、如图，在三棱锥P-ABC中，点Ο、D分别是AC、PC的中点，求证：OD//平面PAB例2、如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN//平面PAD例3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1jENMDCBAPDOCBAP]第4页共6页例4、在正方形中，已知正方体的棱长为，M、N分别在其对角线AD1与DB上，若AM=BN=x。（1）求证：MN//平面CDD1C1；（2）设MN=y，求y=f(x)的表达式；（3）求MN的最小值，并求此时x的值；（4）求AD1与BD所成的角。直线与平面垂直、平面与平面垂直1、线面垂直的定义如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α。2、线面垂直的判定及性质（1）判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。（2）性质垂直于同一平面的两条直线平行。3、线面角直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角，4、二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角α—l—β。二面角的取值范围是。5、面面垂直的判定及性质（1）判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”。（2）性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.A1D1ACBDD1C1B1A1DCBA]第5页共6页例2、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；（III）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．例3、如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90。,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点。（1）求BN的长；（2）求BA1，B1C夹角的余弦值；（3）求证A1B⊥C1M例4、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，ABCA1B1C1NM]第6页共6页PADAB,90底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点。证明：面PAD⊥面PCD例5、已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.例6.如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。（1）求证：BC⊥面PAC；（2）求证：PB⊥面AMN；（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？