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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 资本运营 > 第六讲圆锥曲线的综合问题
绍兴一中高二备课组期末复习教案1第六讲圆锥曲线的综合问题一.复习目标⑴灵活运用解析几何的常用方法,通过建立数学模型实现应用问题向数学问题的转化;⑵通过应用问题的解决,进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.二、题型归类题型1.圆锥曲线中的参数问题与定点、定值问题例1.(1)若动点P(x,y)在曲线)0(14222bbyx上变化,则x2+2y的最大值为(A)A.24(04),42(4)bbbbB.24(02),42(2)bbbbC.442bD.2b(2)椭圆22162xy和双曲线2213xy的公共焦点为F1、F2,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F1PF2的值是(A)A.13B.23C.73D.14(3)若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则2xy的最小值为()A.1B.-1C.-323D.以上都不对解析:2xy的几何意义是椭圆上的点与定点(2,0)连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值,设直线y=k(x-2)代入椭圆方程(4+k2)x2-4k2x+4k2-4=0.令Δ=0,k=±323.∴kmin=-323.答案:C例2:(2005年春季北京,18)如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.(1)写出直线l的截距式方程;(2)证明:11y+21y=b1;(3)当a=2p时,求∠MON的大小.剖析:易知直线l的方程为ax+by=1,欲证11y+21y=b1,即求2121yyyy的值,为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值,进而证得11y+21y=b1.由OM·ON=0易得∠MON=90°.亦可由MNbaOxyl绍兴一中高二备课组期末复习教案2kOM·kON=-1求得∠MON=90°.(1)解:直线l的截距式方程为ax+by=1.①(2)证明:由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0.②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根,故y1+y2=bpa2,y1y2=-2pa.所以11y+21y=2121yyyy=pabpa22=b1.(3)解:设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,则k1=11xy,k2=22xy.当a=2p时,由(2)知,y1y2=-2pa=-4p2,由y12=2px1,y22=2px2,相乘得(y1y2)2=4p2x1x2,x1x2=22214)(pyy=2224)4(pp=4p2,因此k1k2=2121xxyy=2244pp=-1.所以OM⊥ON,即∠MON=90°.评述:本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力题型2。圆锥曲线的综合问题例3已知曲线C:221yx(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,点P分EF所成的比为13,问:点P的轨迹可能是圆吗?请说明理由;(2)如果直线l的一个方向向量为1,2,且过点M(0,2),直线l交曲线C于A、B两点,又92MAMB,求曲线C的方程.解:(1)、设00(,),(,)ExyPxy,则0(,0)Fx,∵点P分EF所成的比为13∴13EPPF∴0001,,3xxyyxxy∴0023xxyy代入22001yx中,得22419yx为P点的轨迹方程。当49时,轨迹是圆。(2)由题设知直线l的方程为22yx,设1122,,,AxyBxy绍兴一中高二备课组期末复习教案3联立方程组22221yxyx,消去y得:224240xx.∵方程组有两解∴20且0∴2或0且2又已知92MAMB,M、A、B三点共线,由向量知识得MAMBMAMB或MAMBMAMB而121222MAMBxxyy121212223xxxxxx∴1233()22xx或又∵1242xx∴433()222或解得25(舍去)或14∴曲线C的方程是22114yx.(也可以用两点间的距离公式得到123MAMBxx,以下解法同。)例4.在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点,求OBOA的值;(2)如果,4OBOA证明直线l必过一定点,并求出该定点.解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0)设l:x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则4,42121yytyy212122212121212(1)(1)()1OAOBxxyytytyyytyytyyyy=3414422tt(2)法一:设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x消去x,得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)则y1+y2=4ty1y2=-4b2212121212121212()()()OAOBxxyytybtybyytyybtyybyy=bbbbbtbt44442222令2044,4422bbbbb∴直线l过定点(2,0)法二:设22212122114,4),(),,(xyxyyxByxA则绍兴一中高二备课组期末复习教案4641616442121222121212121yyxxyyyyxxyyxxOBOA4,8064162121212221xxyyyyyy从而①当直线l的斜率不存在时,l⊥x轴x1=x2∵21xx=4∴x1=x2=2此时直线l过(2,0)点②当直线l的斜率存在时0,2121yyxx∴)(4212221xxyy∴2121214yyxxyy∴l的方程为:)(41211xxyyyy即12112144yyyxxyyy∴)2(421xyyy此时直线l过定点(2,0)综上,直线l过定点(2,0).例5.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程;(2)若Q是双曲线C上的任一点,F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.(3)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线L经过M(-2,0)及AB的中点,求直线L在y轴上的截距b的取值范围解:(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0∵该直线与圆1)2(22yx相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为xy故设双曲线C的方程为12222ayax,又∵双曲线C的一个焦点为)0,2(∴1,2222aa,∴双曲线C的方程为122yx(2)若Q在双曲线的右支上,则延长QF2到T,使|QT|=|OF1|若Q在双曲线的左支上,则在QF2上取一点T,使|QT|=|QF1|根据双曲线的定义|TF2|=2,所以点T在以F2)0,2(为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是)0(4)2(22xyx①绍兴一中高二备课组期末复习教案5由于点N是线段F1T的中点,设N(x,y),T(TTyx,)则yyxxyyxxTTTT222,222即代入①并整理得点N的轨迹方程为)22(122xyx(3)由022)1(112222mxxmyxmxy得令22)1()(22mxxmxf直线与双曲线左支交于两点,等价于方程)0,(0)(在xf上有两个不等实根.因此21012012022mmmm解得又AB中点为)11,1(22mmm∴直线L的方程为)2(2212xmmy令x=0,得817)41(2222222mmmb∵)2,1(m∴)1,22(817)41(22m∴故b的取值范围是),2()22,(四.作业1.如图,已知双曲线C1:nxmy22=1(m>0,n>0),圆C2:(x-2)2+y2=2,双曲线C1的两条渐近线与圆C2相切,且双曲线C1的一个顶点A与圆心C2关于直线y=x对称,设斜率为k的直线l过点C2.(1)求双曲线C1的方程;(2)当k=1时,在双曲线C1的上支上求一点P,使其与直线l的距离为2..解:(1)双曲线C1的两条渐近线方程为:y=±nmx,顶点A为(0,m)∵双曲线C1的两渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=2相切绍兴一中高二备课组期末复习教案6∴nmnm12=2即nmm2=1①又∵A(0,m)与圆心C2(2,0)关于直线y=x对称∴m=2②由①、②解得:m=n=4故双曲线C1的方程为:y2-x2=4(2)当k=1时,由l过点C2(2,0)知:直线l的方程为:y=x-2设双曲线C1上支上一点P(x0,y0)到直线l的距离为2,则y02-x02=42200yx=2故或y02-x02=4x0-y0=2-22解得x0=2或x0=2y0=-22y0=22又∵点P(x0,y0)在双曲线C1的上支上,故y0>0故点P的坐标为(2,22).2.如图,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90O,AD∥BC,AB=2,AD=1.5,BC=0.5,,椭圆以A、B为焦点且经过点D.(1)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程;(2)若点E满足12ECAB,问是否存在直线l与椭圆交于M,N两点,且|ME|=|NE|?若存在,求出直线l与AB夹角θ的正切值的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)如图,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系则(10)A,,(10)B,,1(1)2C,,3(1)2D,设椭圆方程为22221(0)xyabab则2222223()(1)211abab解得2243ab∴所求椭圆方程为22143xyy02-x02=4x0-y0=2+22EODCBAxyABCD绍兴一中高二备课组期末复习教案7(2)由12ECAB得点E的坐标为1(0)2,显然直线l与x轴平行时满足题意,即0直线l与x轴垂直时不满足题意不妨设直线:(0)lykxmk由22143ykxmxy得222(34)84120kxkmxm由222644(34)(412)0kmkm得2243km设11()Mxy,,22()Nxy,,MN的中点为00()Fxy,则12024234xxkmxk,002334mykxmk∵MENE∴MNEF∴00112yxk即22311342434mkkmkk解得:2342km由22234432kk得1122k且0k故直线l与AB夹角的正切值的取值范围是1[0)2,
本文标题:第六讲圆锥曲线的综合问题
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