第十七章贝塞尔函数

第十七章贝塞尔函数贝塞尔方程是拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变量得到的。17.1贝塞尔方程及其解贝塞尔方程：02'''2yvxxyyx修正贝塞尔方程：022'''2yvxxyyx当v不是整数时，贝塞尔方程通解是：xBJxAJxyvv当v是整数m时，由于xJxJmmm1，因此其通解为xBYxAJxymm17.1.1第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数xJv的级数形式为kvkkvxkvkxJ2021!11及kvkkvxkvkxJ2021!11式中是伽马函数。当v是整数时1kv（k=0,1,2，…，v-1）所以当v=m（整数）时，上述级数实际上是从k=m开始的，即kmkkvxmkkxJ202!!11填空：xJxJmmm1当x很小时，保留级数中头几项，可得xvxxJvv12,3,2,1v特别是100J，00mJ,3,2,1m当x很大时，2324cos2xvxxxJv17.1.2第二类贝塞尔函数定义：vxJxJvxYvvvsincos；注意，xYxYnnn1性质：当x很小时，保留级数中头几项，可得：kvxYvv210v；xxYln200v当x很大时，其近似为24sin2vxxxYv第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数由第一、第二类贝塞尔函数组合得到，通常定义为：xiYxJxHvvv1xiYxJxHvvv2由于他们的线性组合是贝塞尔方程的两个解，故贝塞尔方程的通解可以写成:21vvBHAHxy。引入第三类贝塞尔方程的目的是，当x很大时，它具有很简单的渐进展开式。整数阶（第一类）贝塞尔函数1奇偶性根据上节所知，当m为整数时，有xJxJmmm1当m为偶数时，xJm为偶函数；当m为奇数时，xJm为奇函数。2震荡特性3零点贝塞尔函数具有无穷多个实数零点。每个零点都是孤立的，当零点值增大时，每相邻两零点值之差趋向π。xJn的零点介于xJn1和xJn1的零点之间。递推公式及柱函数由xJxmxJxJmmm211，xJxJxJmmm'112，令m=0，且利用等式xJxJ11得：xJxJ1'0xJxJxmxJmmm'1xJxJxmxJmmm'1上述两式也可以写成：xJxxJxdxdmmmm1mmmmxxJxxJdxd1在上两式中令m=0，可得到一个常用式子：xxJxxJdxd01（柱函数一定是贝塞尔函数的解，但是贝塞尔方程不一定是柱函数。）生成函数（重点）贝塞尔函数的生成函数的定义：mmmzxJzxG,贝塞尔函数xJm的生成函数为：mmmzzxzxJezxG12,1生成函数可以展开2加法公式利用生成函数的指数特性有：zyGzxGzyxG,,,，即得加法公式：yJxJyxJkmkkm3的xJm积分表达式生成函数及洛朗级数展开系数表达式，得dzzeixJmzzxm11221,3,2,1,0m经过化简，令m=0，有dxxJ00sincos1贝塞尔函数的本征值问题施-刘型本征值问题的形式022RRmddRdd0,0aRMR上述贝塞尔方程通解为：mmBYAJR代入边界条件决定本征值及本征函数。因为R(0)M,所以B=0，又R(a)=0，即mAJ=0，要A0，,0mJ就是决定本征值的方程，若nx是0xJm的第n个正根，于是本征值22axnnn,3,2,1n结论：i本征值存在，且都是非负的实数；ii本征值可以编成单调递增的序列iii对于每一个本征值2n有一个相应的本征函nmJ，且本征函数nmJ在a,0上有1n个零点。iv本征函数系具有正交性v模2nNvi展开定理nmnnJff1其中dJfNfnmann02117.2.1含xJm的积分补充例题例17.2.1证明下式成立xJxdxxJxmmmxm1101，特别是xJxdxJxx22102证明：利用递推公式得xJxxJxdxdmmmm111即可证明。球贝塞尔方程及球贝塞尔函数半级数阶的贝塞尔方程02122'''2glxxggx，其两个线性独立的解为xYxJll2121和或xHl121和xHl221，经化简定义下列形式的解xJxxJll212xJxxYxxnllll21121212为球贝塞尔方程的解，并称为第一类球贝塞尔函数；为第二类球贝塞尔函数或球诺依曼函数。球贝塞尔函数球贝塞尔函数幂级数形式kkklllxklkklkxxj20!2!!12或kkkllllxlkklkxxj2011!22!!121特别是xxjsin00，xxxnocos