电路第八章.

4电路定理的相量形式3相量法的基础正弦量21复数8相量法第8章相量法从本章开始，我们研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。线性时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为ω的正弦波时，称电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。正弦稳态分析的重要性在于：1.很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。2.用相量法分析正弦稳态十分有效。3.已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。电路第八章本章重点2.正弦量的相量表示3.电路定理的相量形式；1.正弦量的表示、相位差；相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。①代数形式：，模：，复角：:jbaA22baA②三角形式：，模：,复角：；)sin(cosjAAA③指数形式:，模：复角：jeAAA④极坐标形式：,模：复角：AAAjbaA22baAjbaA22baA①代数形式：，模：，复角：:jbaA22baA)sin(cosjAA①代数形式：，模：，复角：:jbaA22baAA)sin(cosjAA①代数形式：，模：，复角：:jbaA22baAA)sin(cosjAA①代数形式：，模：，复角：:jbaA22baA②三角形式：，模：,复角：；A)sin(cosjAA①代数形式：，模：，复角：:jbaA22baA②三角形式：，模：,复角：；A)sin(cosjAA①代数形式：，模：，复角：:jbaA22baA②三角形式：，模：复角：A)sin(cosjAA①代数形式：，模：，复角：abarctanjbaA22baA注意上式中为虚数单位；复数的实部和虚部分别表示为：Re[A]=aIm[A]=b1j8.1复数1．复数的四种表示形式电路第八章复数A的表示形式)1(j为虚数单位AbReIma0A=a+jb（代数形式）AbReIma0|A|jbajAeAAj)sin(cos||||jbaA||||AeAAj指数形式jeAA||2.复数及运算第十章第1节（上）两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ej=|A|直角坐标表示极坐标表示abθbaAarctg||22或sin||cos||AbAa复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——采用代数形式若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0|A|图解法第十章第1节（上）(2)乘除运算——采用极坐标形式2121)j(212j2j1221121||||e||||e||e||||||211θθAAAAAAθAθAAAθθθθ除法：模相除，角相减。则:2121)(2121212121AAeAAeAeAAAjjj?2510475)226.4063.9()657.341.3(2510475jj569.047.12j61.248.12解：乘法：模相乘，角相加例1第十章第1节（上）1111||||1AeAAj若2222||||2AeAAj?5j20j6)(4j9)(1735220(3)旋转因子：复数ej=cos+jsin=1∠A•ej相当于A逆时针旋转一个角度，而模不变。故把ej称为旋转因子。解2.126j2.180原式04.1462.203.56211.79.2724.1916.70728.62.126j2.180329.6j238.22.126j2.180365.2255.132j5.182AReIm0A•ej例2第十章第1节（上）故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子ReIm0正弦电压和电流一、正弦电压电流)110)cos()(m－（itIti按照正弦规律随时间变化的电压(或电流)称为正弦电压(或电流)，它是使用最广泛的一种交流电压(电流)，常称为交流电，用AC或ac表示。常用函数式和波形图表示正弦电压和电流)210()cos()(um－tUtu8.2正弦量的基本概念1.正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达式为：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(t+)波形：tiO/T周期T(period)和频率f(frequency):频率f：每秒重复变化的次数。周期T：重复变化一次所需的时间。单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒Tf1正弦量为周期函数f(t)=f(t+kT)tiO/T正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。研究正弦电路的意义：1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：2）正弦信号容易产生、传送和使用。（3）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtf对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角频率(angularfrequency)ω2.正弦量的三要素tiO/T(3)初相位(initialphaseangle)Im2tTf22单位：rad/s，弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(t+)式中的(ωt+)称为正弦电流的相位同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正（图a）。如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，，则初相位为负（图c），(a)初相0的情况(b)初相=0的情况(c)初相0的情况例10-1已知正弦电压的振幅为10伏,周期为100ms,初相为/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。rad/s62.82010100223T解：先计算正弦电压的角频率正弦电压的函数表达式为V)3010cos(62.8)V6cos(10)cos()(mtttUtu20u正弦电压波形如图10-2所示。图10-2例已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1ti010050t1解由于最大值发生在计时起点右侧根据图示可知电流的最大值为100A，t=0时电流为50A，因此有：3.同频率正弦量的相位差(phasedifference)。设u(t)=Umcos(t+u),i(t)=Imcos(t+i)则相位差：j=(t+u)-(t+i)=u-ij0，u超前ij角，或i落后uj角(u比i先到达最大值)；j0，i超前uj角，或u滞后ij角,i比u先到达最大值。tu,iuiuijO等于初相位之差规定：|j|(180°)。j＝0，同相：j=(180o)，反相：特殊相位关系：tu,iui0tu,iui0j=/2：正交u领先i/2,不说u落后i3/2；i落后u/2,不说i领先u3/2。tu,iui0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。)cos()()cos()(22m211m1tItitIti　　　电流i1(t)与电流i2(t)之间的相位差为：2121)()(jtt上式表明：两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间t无关。通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π。相位差j的量值反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系。同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况。1.同相:如果相位差j=1-2=0,称电流i1(t)与电流i2(t)同相，如图(a)所示；2.正交:如果相位差j=1-2=/2，称电流i1(t)与电流i2(t)正交，如图(b)所示，图中电流i1(t)超前电流i2(t)一个/2或90°；3.反相:如果相位差j=1-2=，称电流i1(t)与电流i2(t)反相，如图(c)所示。(a)同相(b)正交(c)反相例计算下列两正弦量的相位差。解不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。三角公式sinx=cos(x-90)4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义R直流IR交流i电流有效值定义为有效值也称均方根值(root-meen-square)物理意义xx2cos1cos22同样，可定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+)同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，Um537V。（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注i1I1I2I3i1+i2i3i2123角频率：有效值：初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，tu,ii1i20i3正弦量复数实际是变换的思想5相量法的基础1.问题的提出：两个正弦量的相加：)cos(2111tIi)cos(2222tIi造一个复函数)j(e2)(tItA对A(t)取实部：i(t)ΨtItA)cos(2)](Re[对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数)j(2)()(c2ΨtIetAΨtosIiA(t)包含了三要素：I、、，复常数包含了I,。A(t)还可以写成tteIItAjj2ee2)(j复常数)sin(2j)cos(2ΨtItI无物理意义是一个正弦量有物理意义8.3正弦量的相量表示下页上页返回I)cos(2)(mmIΨIIΨtIti)cos(2)(UUeUtUtuj相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：下页上页返回mmUeUUjm称为正弦量i(t)对应的相量。IIeIj同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：)cos(2)(UUeUtUtujmmUeUUjm它在复数平面上可以用一个有向线段来表示，如图所示。这种用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量。设想电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，它在实轴投影为Umcos(t+ψ)，在虚轴上投影为Umsin(t+ψ)，它们都是时间的正弦函数，如图所示。图10-6旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影将电压相量ψUUjmme与旋转因子ejt=cost+jsint相乘可以得到以下数学表达式)sin(j)cos(eemm)j(mtjmψtUψtUUUψt上式表明正弦电压与电压相量之间的关系为)sin(]eIm[)cos(]eRe[mtjmmtjmψtUUψtUUωω