第十三章轴对称

第十三章轴对称13.1.1轴对称（一）1.轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．2.练习：你能找出它们的对称轴吗？思考：大家想一想，你发现了什么？小结得出：.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．课本60练习1、2。习题13.1．1、2、6题．13.1.1轴对称（二）1.如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？为什么？对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2.图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．3.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上，所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等。4.如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？课本P34练习课本习题13．1、3、4、9题．13.1.2线段的垂直平分线的性质一．导入新课1.要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB[如图（1）]．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．二．随堂练习12如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．课本35练习1、2、3课本P36-37习题12.15、10、11、12题．§12．2.1画轴对称图形1.以虚线为对称轴画出图的另一半：2.如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可采取如下方法：（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．点A′就是点A关于直线L的对应点．3.如图（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．4.画出图形的另一半．5．随堂练习课本P41练习1、2．阅读课本P127～P130课本P45习题12.2的1、5、8、9题．§12．2．3用坐标表示轴对称1．如图：（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？2．导入新课在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）．12关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C′（_____，_____）D′（____，_____）E′（_____，_____）．关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（_____，_____）D″（____，_____）E″（_____，_____）．关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．书习题12．2─2、3、4题，第6题、第7题§12．3．1.1等腰三角形（一）1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．课本P56练习1、2、3．阅读课本P49～P51课本P56─1、3、4、8题．4.如右图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°3、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．求这个等腰三角形的边长．EDCAB§12．3．1．2等腰三角形（二）1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．2.下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用．[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．1.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．2.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？课本P531、2、3．课本P56─2、4、5、9、13题．P53～P54．§12．3．2．1等边三角形（一）1.等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．2.等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。例4(书P54)[例5]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，他们的结论对吗？分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，由本节课探究结论知△APB为等边三角形．(1)EDCAB(2)EDCBMN21EDCABDCAB60ABP解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB）=（180°-60°）=60°．于是∠PAB=∠PBA=∠APB．从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．Ⅲ．随堂练习如图，△ABC是等边三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F，求证：BE=CF．Ⅴ．课后作业课本P54练习1、2．课本P56─5、6、7、10题．探究：如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．3．已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．121221EDCABFDCABDCAEBEDCAB§12．3．2．2等边三角形（二）1.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC=BD=AB．[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=×7.4=3.7（m）．12CABDCAB1212121214121212DCAEB又AD=AB，所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．Ⅲ．随堂练习（一）课本P56练习（二）补充练习1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB．在Rt△BCD中，∠B=60°，∴∠BCD=30°∴BD=BC．∴BD=AB．2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，∴∠ABC=60°，∠C=30°．又∵BD是∠ABC的平分线，1212121214121214DCABDCABDCAB∴∠ABD=∠DBC=30°．∴AD=BD，BD=CD．∴CD=2AD．Ⅴ．课后作业课本P58─11、12、13、14题．Ⅵ．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．结果：已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°．证明：延长BC到D，使CD=BC，连