第十四章整式的乘除讲义

1第十四章整式的乘除1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_______3aa；________22aa；________8253baba__________________210242333222xxyxyxxyxyyx2．同底数幂的乘法※1、同底数幂的乘法法则：(m，n是正整数).同底数幂相乘，底数，指数.例如：________3aa；________32aaa在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为pnmpnmaaaa（其中m、n、p均为正数）；⑤公式还可以逆用：nmnmaaa（m、n均为正整数）3．幂的乘方与积的乘方※1.幂的乘方法则：(m，n是正整数).幂的乘方，底数，指数.例如：_________)(32a；_________)(25x；()334)()(aa※3.底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a）3化成-a3).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地nanaannn※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。※5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即nnnbaab)(（n为正整数）。※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。4.整式的乘法※（1）.单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式里含有的，连同它的作为。例如:yx32)5)(2(22xyyx)2()3(22xyxy22232)()(baba单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。※（2）．单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用去，再把所得的积。例如:)(cbam)532(2yxx)25(32babaab单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序。※（3）．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的乘以另一个多项式的，再把所得的积。例如:)6)(2(xx)12)(32(yxyx))((22bababa多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘abxbaxbxax)())((2，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得abxmambmnxbnxamx)())((25.同底数幂的除法※1.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数,指数,即3(a≠0,m、n都是正数,且mn).※2.在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于,即)0(10aa,例如:1100,-2.50=-1,则00无意义.6．整式的除法¤1．单项式除法单项式单项式相除，把、分别，作为商的因式，对于只在被除式里含有的，则连同它的作为商的一个因式；¤2．多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个除以，再把所得的商，例如:xxxy56；aaba4482bababa232454520ccbca2121222其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。7．平方差公式¤1．平方差公式：两数与这两数的积，等于它们的，※即。例如：（4a－1）（4a+1）=___________；（3a－2b）（2b+3a）=___________；11mnmn=；)3)(3(xx；¤其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。8．完全平方公式¤1．完全平方公式：两数________（或________）的________，等于它们的________，加上（或减去）它们的________，¤即________；例如：____________522ba；_______________32yx_____________22ab；______________122m¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；¤2．结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的24倍。¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现222)(baba这样的错误。添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样9.分解因式※1.把一个________化成几个整式的________的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.※2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.分解因式的一般方法：1.提公共因式法※1.如果一个多项式的各项含有_______,那么就可以把这个_______提出来,从而将多项式化成两个因式_______的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:)(cbaacab例如:4yxy32xxx2+12x3+4x)1()1(anam※2.概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:)(cbammcmbma※3.易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.2.运用公式法※1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.※2.主要公式:(1)平方差公式:_______(2)完全平方公式:______________5（1）12x2294ba22)(16zyx22)2()2(baba（2）442mm2269yxyx924162xx36)(12)(2baba¤3.易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244yxyxyx就没有分解到底.※4.运用公式法:(1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.3.十字相乘法：型和型的因式分解下面举例具体说明怎样进行分解因式。例1、因式分解。分析：因为解：原式=（x+7）（x-8）7x+(-8x)=-x例2、因式分解。分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解：原式=（2y+3）（3y+5）因为9y+10y=19y这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．6因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．4.因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)最后看能否使用十字相乘法(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;单元测试题一、选择题（每题3分，共15分）1.下列式子中，正确的是..............................()A.3x+5y=8xyB.3y2-y2=3C.15ab-15ab=0D.29x3-28x3=x2.当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a+3)的值等于…………………………()A.-4B.4C.-2D.23.若-4x2y和-2xmyn是同类项，则m，n的值分别是…………………()A.m=2,n=1B.m=2,n=0C.m=4,n=1D.m=4，n=04.化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是……………………………………………()A.-x6B.x6C.x5D.-x55.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于…………………()A.3B.-5C.7.D.7或-16、下列运算中，正确的是（）A、236xxxB、222235xxxC、328xxD、222xyxy7、下列多项式中，能够因式分解的是（）A、22xyB、22xxyyC、214ppD、22mn8、分解因式2aab的结果是（）A、11abbB、21abC、21abD、11bb9、下列多项式能利用平方差公式分解的是（）A、2xyB、22xyC、22xyD、22xy10、在多项式2222244,116,1,xxaxxxyy中是完全平方式的有（A、1个B、2个C、3个D、4个11、若12aa，则221aa的值为（）7A、2B、4C、0D、4二、填空（每题3分，共15分）1.化简：a3·a2b=;2222aaa的结果是_______________。2.计算：4x2+4x2=;4x2·(-2xy)=;200520045225__________.3.分解因式：a2-25=;322______________aaa.4、若4xm，则2______xm5、2323_____12xyxy6、当m=___________时，多项式2249xmxyy是一个完全平方式。7、若多项式2216xax能写成一个多项式的平方的形式，则a的值为____________。8、已知4,3xyxy，则22_________xy。9、如果2212xxkx成立，那么k=______________。三、解答题（共70分）1．计算（直接写出结果，共10分）am·an=，(am)n=，(ab)n=①a·a3=②(m+n)2·(m+n)3=③(103)5=④(b3)4=⑤(2b)3=⑥(2a3)2=⑦(-3x)4=2．计算与化简.（共18分）(1)3x2y·(-2xy3)；(2)2a2(3a2-5b)；(3)(-2a2)(3ab2-5ab3).(4)(5x+2y)(3x-2y).(5)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；（6）(-3)2008·(31)20093．先化简，再求值（7分）8(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2，b=-14．把下列各式分解因式.（共18分）(1)xy+ay-by；(2