第十四章轴对称教材分析文字稿

1第十四章轴对称一、本章内容的新课程标准要求二、知识结构三、课时安排四、各节知识浅析第一节轴对称一．关键概念和原理概念：轴对称图形，对称轴，轴对称，对称点，线段垂直平分线.原理：轴对称图形的性质及判定；线段的垂直平分线的判定及性质；成轴对称的两个图形的性质；如何判定两个图形关于某条直线对称.二．知识点：1．轴对称与轴对称图形的联系与区别.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.两个图形关于某直线对称，也称为轴对称.这条直线就是它的对称轴.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.区别：轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的；轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的.联系：轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.2．线段的垂直平分线及其结论定义：经过线段中点并且垂直与这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.结论：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上，所以线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合.两者的关系：点在线段的垂直平分线上点到线段两端的距离相等3.轴对称和轴对称图形的性质共同的特征：对折后的两部分是完全重合的，即对应线段相等，对应角相等.性质：（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等；（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线.三.综合探究1.运用轴对称进行图形设计例1.某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限）,并且使整个矩形场地成轴对称图形,请在矩形中画出你设计的方案.2.运用线段垂直平分线的性质解决几何设计中的选址问题例2.如图,某地有两所大学和两条交叉的公路,点M、N表示大学,OA、OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计.AOMNB2第二节轴对称变换一．关键概念和原理概念：轴对称变换原理：作轴对称图形，一个点关于x轴、y轴的对称点的坐标的特点.二．知识点1.轴对称变换定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.轴对称变换同旋转变换、平移变换一样，都是图形变换的一种，轴对称变换的实质就是图形的翻折，而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题，解这类问题的关键是利用图形的全等，找出对应线段对应角，挖掘题目的隐含条件，再利用结论使问题获解.注意：经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变.2.关于坐标轴对称的点的特点建议在教学中，让学生学会用方程组表示，数形结合，为今后解综合题打下基础.即点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于x轴对称1212xxyy0点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于y轴对称1212xx0yy点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称1212xx0yy0＋＝三.典型例题例3.如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=－1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．例4.在下图这一组中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形.例5.如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角,则展开后所得的图形是（）.四.综合探究（一）运用轴对称的性质求最值1.运用轴对称的性质求线段之和的最小值沿虚线剪开右下方折右折上折DCBA3例6.（内蒙古乌海市.2002）如图1,某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是：D→A→B→C→D和D→C→B→A→D.1.试问在公路边上是否存在一点D，使送货路程最短？（把公路边近似看作公路上）2.将A、B、C三点放在平面直角坐标系中，把x轴建立在公路上，坐标如图所示.请画出D点所在的位置，并写出画法.3.求出D点在该坐标系中的坐标（要求有运算过程）2.利用轴对称解决周长最小问题例7.在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．3.利用轴对称解决线路最短问题例8.如图1,A为厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.（教材p137－9）（二）数形结合,利用轴对称找规律例9.晓慧同学学习了轴对称知识后,忽然想起来过去做过的一道题:有一组数排列成方阵,如图1所示,试计算这组数的和.晓慧想方阵就像正方形,正方形是轴对称图形,能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢?晓慧试了试,竟得到了非常巧妙的方法,你也能试试看吗?（三）轴对称变换与平面直角坐标系的综合应用1.点关于横纵坐标轴对称的规律例10.（1）若点M（2,a）和点N（a+b,3）关于x轴对称,试求a,b的值;（2）若点M（2,a）和点N（a+b,3）关于y轴对称,试求a,b的值.解:ab2a31;a30b5ab20a32a3b5.解得解得横轴横不变,纵轴纵不变例11.（1）求一次函数y=2x-1的图象关于x轴对称的直线的函数解析式；（2）不作函数y=-2x+1与y=2x-1的图象,试判断它们的图象关于哪一个坐标轴对称.图1HBANM图2D'C'NA'B'DCHBAM图10xyC4,1B2,4A1,2EDCABP0HF图1766555443325489877665432142.利用轴对称求特殊点的坐标例12.如图，在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小.（1）作出M点和N点.（2）求出M点和N点的坐标.（四）镜子、倒影与轴对称变换1.从镜子里看物体——左右相反例13.如图1所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？图12.从水中看物体——上下颠倒例14.如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.第三节等腰三角形一．关键概念和原理概念：等腰三角形，顶角，底角，腰，底边，等边三角形原理：等腰三角形的性质、判定；等边三角形的性质、判定；直角三角形的性质二.知识点1.等腰三角形的概念、性质及判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线.性质：等腰三角形，底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线三线合一；等腰三角形中相等的边所对的角也相等.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.2.等边三角形及其性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形.性质：（1）等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴；（2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°；（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质.判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.DCBA33OYXNMQ1P1Q(3,2)P(2,3)5综合探究（一）由于等腰三角形的特殊性，当题目条件不明确时，要注意分类讨论1.边没明确腰、底例.等腰△ABC中，AB=2BC,且三角形周长为40.求AB的长.2.内角没明确是顶角还是底角例.（1）已知等腰三角形有一个内角为70°，求其余两个内角的度数.（2）已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数.3.腰上的高分形内和形外例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数（二）等边三角形中有关边、角数量关系的探究例:如图,以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结BD、CE，相交于O.（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）BD和CE夹角的大小与△ABC的形状有关吗？说明理由.（三）等腰三角形在函数中的应用例15：等腰三角形的周长为20cm.（1）求底边y（cm）与腰长x（cm）之间的关系式；（2）求出自变量x的取值范围；（3）画出该函数的图象.（四）轴对称在等腰三角形中的应用1.利用等腰三角形的轴对称性寻找特殊点例16：如图，在等边三角形ABC所在平面内找一点P，使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形，你能找出几个这样的点？请画出它们的位置.2.利用轴对称变换集中几何条件例17：已知：如图，在等腰直角△ABC的斜边上取两点M、N，使∠MCN＝45°，设AM=m，MN=x，BN＝n，试判断以x、m、n为边长的三角形的形状.（五）运用“含30°锐角的直角三角形”解决航海问题例18：如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？参考习题1.如图所示,Ox,Oy是两条公路,在两条公路夹角的内部,有一油库A,现在想在两公路上分别建一个加油站,为使运油的油罐车从油库出发先到一个加油站,再到另一个加油站,最后回到油库的路程最短,问两加油站应如何选址?2.如图所示,在铁路L的同侧有A、B两个工厂,要在铁路边建一个货场C,货场应建造在什么地方,才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短?lBAODEABCNACDBnmxNBCAMABCyxOA63.（2005.江西.3分）如图所示,将一张正方形纸片经过两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平,得到的图形是（）4.已知:如图,P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=10cm.求ΔPMN的周长.5.如图，△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．6.剪纸是中国的民间艺术,剪纸的方法很多,下面是一种剪纸方法的图示（如图1，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案）：图2中的四个图案，不能用上述方法剪出的是（）(1)(2)7.（1）观察图1～4中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征.（2）借助图5的网格，请设计一个新图案，使该图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征.8.为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四等分点作该边的垂线段（图②），（图②中的两个图形的分割看作同一种方法）.请你按照上述三个要求，分别在图③的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法.（只画图，不写作法）DCBAP2P1OMNPBAEDCAB54321图3方法三方法二方法一图2图1图3方法三方法二方法一710.（教材变形题）如图所示,EFGH是一个台球桌面,有黑白两球分别置于A、B两点位置上，试问怎样撞击白球B，经桌面HE、EF连续反弹后，准确击中黑球A？（写作法并作图）第二节轴对称变换1.如图所示,分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（记为n）对称的图形,你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?2.求点P（-2,1）关于直线x=2对称的点的坐标.3.求点N（3,4）关于直线y=1对称的点的坐标.4.求直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式.5.如图所示,由小正方形组成的“L”形图