第十四节菱形

卓文教育平行四边形1第十四节菱形【知识要点】1．你知道菱形的定义吗？2．你知道菱形有哪些性质吗？（1）边：（2）角：（3）对角线：3．在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的?哪些角是相等的?(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？(3)两条对角线AC，BD有什么特定的位置关系？4．你知道如何辨别菱形吗？（1）（2）（3）5．你知道菱形的两种面积计算法吗？【典型例题】#例1-1如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm,BD=12cm,求菱形的高。#例1-2菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，较短对角线的长是，一组对边的距离为，面积是。（要求自己作图）DCABODCBA12O卓文教育平行四边形2#例2如图DE是平行四边形ABCD中，ADC的平分线，DF//AD交DC于F。求证：（1）四边形AEFD是菱形。（2）如果60A，AD=5，求菱形AEFD的面积。例3如图4-3-6，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是角平分线，CE⊥AB，交BD于点G，DF⊥AB，E、F为垂足，连结FG，试判别四边形DCGF的形状。【大展身手】#1．下列判别错误的是（）A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B、有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、邻边相等的平行四边形是菱形#2．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24cm2，且AE=4cm，则菱形ABCD的边长为（）A、4cmB、5cmC、6cmD、7cm#3．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且BE=EC，CF=FD，则∠AEF等于（）A、120°B、45°C、60°D、150°DFCBEA图4-3-6BACDFEG卓文教育平行四边形3#4．已知菱形的周长是40cm，一条对角线的长是12cm，那么这个菱形的面积是（）A、190cm2B、96cm2C、48cm2D、40cm2#5．菱形的周长等于它的高的8倍，则它的相邻两个角的度数是（）A、20°和160°B、60°和120°C、45°和135°D、30°和150°#6．菱形中，两条对角线相交于一点，则这个图形中，面积相等的三角形有（）A、8对B、12对C、15对D、16对#7．菱形ABCD中，若∠ABC=120°，则BD：AC的值是（）A、、2:1B、3:3C、1:2D、3:1#８．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24cm2，且AE=4cm，则菱形ABCD的边长为（）A、4cmB、5cmC、6cmD、7cm#9．菱形中，两条对角线相交于一点，则这个图形中，面积相等的三角形有（）A、8对B、12对C、15对D、16对10．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且BE=EC，CF=FD，则∠AEF等于（）A、120°B、45°C、60°D、150°11．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上的一点，DF交AC于E。求证：AFD=CBE。12．如图菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB=a，求：（1）ABC的度数。（2）对角线AC的长。（3）菱形ABCD的面积。BFADCEDCBEAO卓文教育平行四边形413．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点M，AN平分∠DAC交BC于点N。求证：四边形AMNE是菱形。14．如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上的一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE。求证：四边形BECF是菱形。15．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，60A，E、F分别是DC、AB的中点．求证：BDEF．ACEBFDADEFBC卓文教育平行四边形5矩形与正方形15-1矩形【知识要点】1．你知道矩形的定义吗？2．矩形有哪些性质呢？（1）边：（2）角：（3）对角线：3．你能辨别矩形吗？（1）（2）（3）4．注意：（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。6.探索新知：直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半。你知道如何利用矩形的知识加以说明吗？【典型例题】#例1如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。#例2矩形的两条对角线的交角之一是60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm，则对角线的长为，较短的边的长为，较长的边的长为。#例3如图，矩形ABCD中，BDCE，E为垂足，1:3:ECBDCE，则ACE等于多少？ABOCDABOCDDAOBCE卓文教育平行四边形6#例4如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。例5已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是矩形例6矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点AEFH于H，CDFG于G，求证：ADFGFHDAEGCBFHDACBHGFEABAFCCGDHEO卓文教育平行四边形7例7动点问题：△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC,，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．【大展身手】#1．下列命题正确的是（）A、有两个角是直角的四边形是矩形B、两条对角线相等的四边形是矩形C、两条对角线垂直且相等的四边形是矩形D、四个角都是直角的四边形是矩形#2．过矩形ABCD的顶点D，作对角线AC的平行线交BA的延长线于E，则△DEB是（）A、不等边三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形#3．E为矩形ABCD中AB边上的中点，CE⊥DE，那么∠CEB等于（）A、30°B、45°C、60°D、75°#4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个边形是正方形的是（）A、AC=BD，∠A=∠B，∠C=∠DB、∠ABD=∠CBD，AB=CD，∠A=∠BC、AO=CO，BO=DO，∠A=∠BD、AO=CO，BO=DO，AB=BC#5．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个#6．如图4-4-1，已知正方形ABCD的边长为cm35，E为DC边上一点，∠EBC=30°，则BE的长为（）A、cm5B、cm52C、5cmD、10cm7．如图4-4-2，等边三角形ABE与正方形ABCD有一条公共边，则∠AED等于（）A、10°B、12.5°C、15°D、20°图4-4-1BCDEA图4-4-2BADEC图4-4-3BCDAEABCDFEONM卓文教育平行四边形88．如图4-4-3，E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE等于（）A、70°B、72.5°C、75°D、77.5°正方形#例1．如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MDMN，且BN平分CBE，求证：DM=MN【大展身手】#1．下列命题中错误的是（）A、正方形既是矩形又是菱形B、有一个内角是直角的菱形是正方形C、有一组邻边相等的矩形是正方形D、两条对角线想到垂直且相等的四边形是正方形#2．正方形具有而矩形不一定具有性质是（）A、对角线互相垂直B、对角线相等C、对角线互相平分D、对角线互相平分且相等#3．如图4-4-5，正方形ABCD的边长为3，以CD为一边向CD两旁作等边△PCD和等边△QCD，那么PQ的长为（）A、233B、332C、33D、36#4．一个正方形和一个等腰三角形周长相等，等腰三角形两边长为13cm和6cm，这个正方形的面积是（）A、64cm2B、16625cm2C、32cm2D、25cm2#5．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足为F、G，如果AC=10cm，那么EF+EG等于（）A、10cmB、7.5cmC、5cmD、2.5cmAMBENCD图4-4-5CDAEBPQ