第十章___定积分的应用

1第十章定积分的应用§1平面图形的面积教学内容：平面图形面积的计算教学目的：理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基本思想熟记平面图形面积的计算公式。一．直角坐标系下平面图形的面积：由定积分的几何意义，连续曲线与直线：轴所围成的曲边梯形的面积为：2()[,],().()()()().bacdacebdefxabAfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx若在上不都是非负的则所围成图形（如右图）的面积为)(xfya0xybbo)(xfycdexyoa31122121122()()()().()()baxyfxyfxxaxbAfxfxyxgyxgyyayb一般地，若平面区域是—区域：由上曲线、下曲线、左直线、右直线所围成，则其面积公式为：若平面区域是—区域：由左曲线、右曲线、下直线、上直线x—区域21,()().baAgygydy所围成则其面积公式为：如图所示。y—区域yxo)(11xfy)(22xfyabxyoab)(1ygx)(2ygx4如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：上曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD构成；下曲线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于y轴的直线，则把平面区域分成4个x—型区域。yxEabABCDFGo5如图所示：：解法积所围成的平面区域的面与直线：求抛物线例1.03212yxxy所给的区域不是一个规范的x-域,如图需将其切成两块,即可化成x-形区域的面积问题。第一块的面积：AB1A2A,第二块的面积：,总面积：6.3210323,1,32,23122dyyyAyyyyxyxy积域面积的计算公式得面型区—直接由上直线为：下直线：右曲线为：型区域：则左曲线为：—成若把围成的平面区域看：解法二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示7且：在上连续，，（对于或的情况类似讨论），则计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：1）具体计算时常利用图形的几何特征2）从参数方程定义域的分析确定22221xyab例2求由椭圆所围成的面积。解8例3求摆线的一拱与x轴所围的平面图形的面积(如图阴影部分)由图看出,对应原点(0,0),对应一拱的终点,所以其面积为:9三、极坐标下平面图形的面积drACrrrC)(21.2],[)(],[,)(2平面图形的面积：所围成的、两射线：与由曲线上连续，在给出，其中由极坐标方程曲线设o)(rr)(1irr)(irrix和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是1）利用图象；2）分析定义域（见下页示图）1011例4求双扭线所围成的平面图形的面积xy]4,0[4象限变化的范围为：在第一而倍。限部分面积的一象的，故其面积是其在第对称平面图形是关于坐标轴它所围成的如图所示，解：24022cos4adaA的面积为：区域故双纽线所围成的平面12§2由平行截面面积求体积1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式:A现在我们看右图一个空间立体，假设我们知道它在x处截面面积为A(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？xA(x)13如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积ininiixxAVV11)(由此可得:.)(dxxAVba这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x),常用的方法先画出草图，分析图象求出A(x).例1求两圆柱:222222RxzRyx所围的立体体积.14解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？下图就是其在第一卦限部分立体：15),0(R该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为的正方形,所以截面面积。22R22)(RxA22301683RVRxdxR故两圆柱面所围成的立体体积22222221()xyzabcxAx例求由椭圆面所围立体（椭球）的体积。(如上图）解法：画出草图，关键是求出用垂直于轴（其它轴也可）的平面截立体所得截面面积函数的具体表达式。利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计算。xyz0a-a-cc-bb0xxyz0a-a-cc-bb0x162、旋转体体积公式22[,]0(),[,](),[,]().3bafabyfxxabxAxfxxabVfxdx设是上的连续函数，是由平面图形：（右图阴影部分）绕轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为（），由已知平行截面面积求体积的公式可知，旋转体的体积公式为：例求圆锥体的体积公式ba()yfxxyoba()yfxxyoxba()yfxxyoba()yfxxyoba()yfxxyo172224()(0)xyRrrRx例求由圆绕轴旋转一周所得环状立体体积。122222,,yRrxyRrxxrx解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：则环体体积是由上、下两个半圆绕轴旋转一周所得旋转体的体积之差(如下图所示）：yoxrr221yRrx上半圆：222yRrx下半圆：yxorryxorr182222222212222242.rrrrrrrrVydxydxRrxdxRrxdxRrxdxrR即环体体积：19§3.平面曲线的弧长与曲率本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式一、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念我们已经学习过，利用刘嶶割圆术定义了圆的周长，现将刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到平面曲线弧长的计算公式。01211(,,,,,,,,,,iinnCABCABAPPPPPPPBC设平面曲线为曲线弧），如图所示在上从到依次取分点：它们成为对曲线的一个分割x=A=Byo1P2P1iPiP1nP0PnP20111110(1,2,,),.max,(),.1lim(),iiniiiiiniTTTCnPPinnCTPPsTPPCTsTsCs，记为，然后用线段联结中每相邻两点，得到的条弦：这条弦又成为的一条内接折线记分别表示最长弦与折线的总长度定义对于曲线的无论怎样分割，如果存在有限极限里则称曲线是可求长的，并把极限定义为曲线的弧长。一般来说，平面上连续的曲线不一定都可求长，但如果是平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线的定义。2122222(),(),[,].()()[,]()()0[,21)(),(),,()().(1)2)CxxtyyttxtytxtyttCCxxtyyttCsxtytdtC定义设平面曲线由参数方程：给出如果、在上连续，且：，，则称曲线为一条光滑曲线。、光滑曲线的弧长公式、若光滑线由参数方程：给出，则一定可求长，则其长为：证明、若光滑线由直角坐标方(),[,]((),[,])1yfxxabxgyyab程：或：给出，则由（）易得其弧长公式为：222222221().(1().)(2)3)(),()()()01()()..(3)bbaasfxdxsgydyCrrrrrsrrd或：、若光滑线由极坐标方程：，，（连续，）给出，则由（）易得其弧长公式为：1sin,1cos,(0)xattyata例求摆线：一拱的弧长。解：如图所示xy232002xxeeyxxa例求悬链线从到的那一段弧长。解：如图所示：108642-5510Moaaoxy2xxeey24642245510CBD2ax0y1cosra3(1cos)(0)raa例求心形线的周长。解：如图所示：25§4旋转曲面面积01()lim(),()bniiTiabafxdxfxfxdxQ定积分是和式的极限如果所研究的问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使定积分的应用问题能简便地回归到求定积分上来，我们往往采用以下介绍的方法—微元法。何谓微元法？一个待求的量若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：一、微元法261[,]2[,][,][,](),().(bbaaQxabQabQQQabxxxQQfxdxdQQQdQfxdxQ）、是一个与其变量的变化区间有关的量；）、对于具有代数的可加性，即其中是的子区间所对应的部分量。如果的近似表达式是：则要计算的量只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果所求量的最终值）这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解决实际Q问题时经常被使用。使用微元法的关键就是正确给出的近似表达式，即27()()(),()()()()()1QfxdxdQQfxxoxQfxxoxQfxxQfxxxQfxx若不能保证：，则就不能用作为近似表达式，否则用“微元法”将导致错误的结果。要严格检验：是否为的高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对的合理性要特别小心。对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式都可以用微元法得到。二、旋转曲面的面积）、设2(),[,],()02()1().baCyfxxabfxCxSfxfxdx平面光滑曲线由直角坐标方程（不妨设）给出，则曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面面积为：28.证明（如图，用微元法导出公式）yxbaSy=f(x)xxxo2()(),[,],Cxxtyytt）、若平面光滑曲线由参数方程：，292222()02()()().3(),[,]([,][0,],()0),2()sin()()ytCxSytxtytdtCrrrCSrrrd给出，且：，则曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面面积为：）、若平面光滑曲线由极坐标方程：则曲线绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为：22212331[,][,]2cos,sinxyRxxRRxxatyatx例计算圆在上的弧段绕轴旋转一周所得旋球带的面积。例计算由星形线：绕轴旋转一周所得旋转曲面的面积。642-2-4-6-55Cxyo星形线30§5定积分在的物理的某些应用学习目标：能够运用定积分解决物理问题学习要点：引力，变力沿直线所做的功学习基础：微元法，分部积分法，换元法定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。这里介绍几个有代表性的例子。1变力沿直线所作的功问题从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体31移动了距离s时,力F对物体所作的功是，如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变