第十章第2课时知能演练轻松闯关

一、选择题1．(2013·舟山月考)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42B．30C．20D．12解析：选A.可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理知共有12＋30＝42种排法．2．从5张100元，3张200元，2张300元的运动会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有()A．70种B．80种C．90种D．100种解析：选C.基本事件的总数是C310，在三种价格的门票中各自选取1张的方法数是C15C13C12，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的不同的选法共有C310－C15C13C12＝90种．3．(2012·高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解析：选C.把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．4．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有()A．1440种B．1360种C．1282种D．1128种解析：选D.采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A22＝1440(种)，如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A14·A22·A44＝192(种)，若“甲在除夕值班”，且“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120(种)．则不同的安排方案共有1440－192－120＝1128(种)．5．(2013·烟台高三诊断性测试)用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是()A．36B．32C．24D．20解析：选D.由题意知，1与3两数排在一起必须排在首末两端，若排在首端，则有A22A33＝12种排法；若排在末端，则有A22C12A22＝8种排法，故有20种排法，选D.二、填空题6．(2013·天津模拟)将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．解析：将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．答案：247．三个人坐在一排八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：法一：根据题意，两端的座位要空着，中间六个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空，故共有A34＝24种．法二：让人占座位之间的空，因有五个座位，它们之间四个空，人去插空，共有A34＝24种．答案：248．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析：当每个台阶上各站1人时有A33C37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C23C17C16种站法，因此不同的站法种数有A33C37＋C23C17C16＝210＋126＝336(种)．答案：336三、解答题9．某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有多少种？解：先从12个班主任中任意选出8个到自己的班级监考，有C812种安排方案，设余下的班主任为A、B、C、D，自己的班级分别为1、2、3、4，安排班主任A有三种方法，假定安排在2班监考，再安排班主任B有三种方法，假定安排在3班监考，再安排班主任C、D有一种方法，因此安排余下的4个班主任共有9种方法，所以安排方案共有C812·9＝4455(种)．10．(2013·江门模拟)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除；(2)比21034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数．解：(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A33＝18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3A12·A22＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．(2)可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有A33＝6(个)；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12(个)；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12(个)；而末位数字是4，而首位数字是2时，有A22＋A11＝3(个)；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33＝6(个)；故有A33＋A12A33＋A12A33＋(A22＋A11)＋A33＝39(个)．(3)可分为两类：末位数是0，有A22·A22＝4(个)；末位数是2或4，有A22·A12＝4(个)；故共有A22·A22＋A22·A12＝8(个)．一、选择题1．(2012·高考安徽卷)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4解析：选D.利用排列、组合知识求解．设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．若任意两位同学之间都进行交换共进行C26＝15(次)交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a－b和a－c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人．(2)由4人构成的2次交换，如a－b和c－e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人．故选D.2．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()A．50种B．49种C．48种D．47种解析：选B.从5个元素中选出2个元素，有C25＝10(种)选法，小的给集合A，大的给集合B；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10(种)选法，再把这三个元素从小到大排列，中间有两个空，用一个挡板把其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时选择方法有10×2＝20(种)；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5(种)选法，从小到大排开，中间有三个空，用一个挡板隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时选择方法有5×3＝15(种)；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1(种)选法，同理分割方法有4种，故此时选择方法有1×4＝4(种)．根据分类加法计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49(种)选择方法．故选B.二、填空题3．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则有________种不同的调度方法(填数字)．解析：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后，安排其他两辆车共有A22种方法，∴不同的调度方法为C25·C24·A22＝120种．答案：1204．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：题设中“两个组各2人”就可以看成把4人分成两组，每组中有2人，把每组中有2人“捆”在一起，这样就形成两个独立的元素．于是该题的解答应该是：先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组C26C24A22，两个一人组C12C11A22，再全排列得：C26C24A22·C12C11A22·A44＝1080.答案：1080三、解答题5．(2013·菏泽段考)已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解：(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；第8次测到最后一件次品有3种抽法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有A24A25A46＝86400(种)抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类加法计数原理得，满足条件的不同的测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8520.