第十章级数【高等数学】

1第十章级数一、内容分析与教学建议无穷级数概念的形成是伴随着极限概念的形成而形成的，无穷级数的理论是伴随着微积分理论的发展而发展起来的。如今，无穷级数是表达函数、数值计算等方面的重要工具，已经渗透到科学技术的很多领域。（一）数项级数1、可通过圆的内接多边形逼近圆的面积等实例引入级数的概念。级数的收敛、发散及收敛级数的和是本章最基本的概念，要求学生正确理解，至于级数的运算性质，可结合例题说明性质的应用，及注意和有限数的运算性质相比较。如1111121121nnnnnnn等等。2、正项级数的审敛法是其他级数审敛法的基础，应予以足够重视。比较审敛法是个难点，这个方法要点是：将所讨论的级数的一般项通过放大或缩小，使之与已知其审敛性的等比级数（或P–级数）一般项相联系。要通过不断运用使学生理解并掌握。3、任意项级数中，交错级数占有重要地位，不但要求学生学会其证明定理、领会其方法，而且要给学生指出莱布尼兹判别法仅仅是充分条件，而非必要条件，另外，判别一个任意项级数是否绝对收敛、条件收敛有技巧，因此要交给学生一个一般的判别步骤。4、义积分与无穷级数都是“无限求和”的概念，研究的思想及方法类似，可通过类比无穷级数审敛法，达到广义积分的审敛法。本讲是选学内容，可根据专业适当取舍。（二）幂级数1、关于幂级数收敛域之特点，主要是通过阿贝尔定理来解决，可结合画图、分类讨论说明收敛半径存在，并提示收敛域是一个连成一片的完整区间（0R特例）。注：新大纲规定，收敛区间=收敛域；2、关于收敛半径的求法，要交代其基本思想是正项级数判别法（通常用比值或根值），并通过几个典型例题给出其一般常见情形收敛半径之求法；3、将函数展开成幂级数以及求幂级数在收敛区间内的和函数是本章的又一难点，它们是一个问题的两个方面，讨论方法也是类同的。基本思想是转化为六个基本初等函数，转化方法：重点介绍逐项求导和逐项求积；24、关于泰勒定理及泰勒级数理论、应用及理论价值较大，内容也很丰富，应讲清它们的形成方法和意义。引入泰勒级数通常有两种方法，一种是由泰勒定理过渡，另一种由展开式唯一而得到，教师视其情况而定；5、关于幂级数应用，首先应给出一般公式，其次要结合例题如何)(xf，0x，x及n，困难往往在于如何估计截此误差21nnnuur，这种级数一般为两种情形，一种是正项级数适当放大变成一个等比级数；另一种是交错级数，如果满足莱不尼兹准则，则1nnur（01nu）。（三）傅立叶级数1、类比幂级数，引入傅立叶级数，介绍其傅立叶级数意义、方法和应用；2、讲解傅氏公式之前，给出其三角函数系及其正交性质；3、要讲清)(xf与)(xf的傅立叶级数之关系，会区分下列两式之含义)(xf)sincos(210nxbnxaannn)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn4、要结合例题，讲透狄氏定理条件，尤其是和函数，并从几何上比较)(xf的图形异同点；5、函数展成傅氏级数时，由简单到复杂，步步深入，先讲，以2为同期，然后再讲周期延拓，正（余）弦级数，奇（偶）延拓，再推广到任意区间。3二、补充例题例1．设正项数列}{na单调减少，且1)1(nnna发散，试问级数111nnna是否收敛？并说明理由解：级数111nnna收敛，理由如下：由于正项数列}{na单调减少且有下界0，故aann0lim存在，且0a；若0a，则由莱不尼兹判别法知交错级数1)1(nnna收敛，这与题设矛盾，故0a，于是11111aan知nnnaa1111而111nna是公比111a的几何级数，故收敛。由比较判别法知原级数收敛。11121kkkkkkaaaaaa11kkaa所以nkkkknaaaS11112kkkaa11122aaak即正项级数11nnnnaaa的部分和数列}{nS有上界12a。由基本定理知该级数收敛。例2设11a，12a，nnnaaa12，)2,1(n,210x,证明级数10nnnxa绝对收敛.证：由21111nnnnnnnaaaaaaa4得：1212311222222nnnnnnaaaaa故nnnnnxxxa00202412由题设120x，因此级数10241nnx收敛.用比较判别法知级数10nnnxa绝对收敛.例３.设na是单调递减的正值数列，证明11nnnnaaa收敛.证：因为na单减，故该级数是正项级数又111kkkkkkkkaaaaaaaa11121kkkkkkaaaaaa11kkaa所以nkkknkkkknaaaaaS1111211122aaak即正项级数11nnnnaaa的部分和数列nS有上界12a，所以由基本定理知该级数收敛.例４.设)(xf在0x点的某领域内具有二阶连续导数且0)(lim0xxfx，证明级数11nnf绝对收敛证：由题设有0)0(f，0)(lim0)0()(lim)0(00xxfxfxffxx，)(xf在0x某个领域内一阶泰勒公式为22)(21)(!21)0()0()(xxfxxfxffxf)10(再由题设)(xf在包含于该领域内的某闭区间],[ll上连续，故0M，使5Mxf)(，],[llx，于是],[llx有2221)(21)(Mxxxfxf取nx1，有21211nMnf（当n充分大时），因为121nn收敛，故11nnf绝对收敛。例５.已知1)1(nnnxa在1x处收敛，判别级数在2x处收敛性.解：令1xt，则级数1nnnta在2t处收敛。当2x时，1t，由于1nnnta收敛半径2R，故1nnnta在1t处绝对收敛，即幂级数1)1(nnnxa在2x处绝对收敛.例6.求12)1(2nnnnx的收敛半径.解：（此题不能用比值判别法求收敛半径R）由00112)1(212)1(2nnnnnnnnnnnxxx两个级数的收敛半径皆为2，故原级数收敛半径为2.此题还可由根值判别法：由xxunnn21)(lim，当2x，级数收敛；当2x，级数发散。2R.例7.求级数02!)1(nnn的和.解：设02!)1()(nnxnnxS，收敛半径R，所求级数和为)1(S，由0!nnxnxe两端乘x得：01!nnxnxxe，6求导得：0!1)1(nnxxnnex，两端乘x得：01!1)1(nnxxnnexx，求导得：)(!)1()13(022xSxnnexxnnx由此得：eennSn5)131(!)1()1(202.例8.设级数1nna和1nnb皆收敛，且nnnbca，（2,1n），证明级数1nnc收敛.证：令nnnabu，nnncbv，则1nnu和1nnv均为正项级数，因为级数1nnv和1nna收敛，则1nnu收敛，又因为nnncbvnnnuab由比较判别法知1nnv收敛，由于nnnnnnvbcbbc)(，而级数1nnb，1nnv均收敛，故1nnc收敛.例9.设121aa，11nnnaaa（4,3,2n），证明对于21x，幂级数11nnnxa收敛，并求其和函数.解：121aa及11nnnaaa，易知nnnaaaaa143,0,,0,0且，xxaaaxaaxaxannnnnnnnn21111由比值法知：当12x，即21x，11nnnxa收敛.设11nnnxa的和函数为)(xS，则7)(xS11nnnxa3121nnnxaxaa312121)(nnnnxaaxaa2112121nnnnnnxaxxaxxaa)(211121xSxaxaxxaannn)(])([2121xSxaxSxxaa)(]1)([12xSxxSxx)()(12xSxx)()(1)(2xSxxxS211)(xxxS21x例10．已知函数2)(xxf，20x①设周期为2，将)(xf展开为傅里叶级数；②由此证明6131211122222n及212221)1(312111nn122；③曲面求积分10)1ln(dxxx的值.解①22020381dxxa202202sin1cos1nxdxnnxdxxan20202sin2sin1nxdxxnxxn20224cos2nnxxdn（3,2,1n）8202202cos1sin1nxdxnnxdxxan20202cos2cos1nxdxxnxxn20202sin2sin241xdxnxxnnn4（3,2,1n）)(xf在]2,0[傅立叶级数为122sincos1434nnxnnxn由于)(xf在)2,0(内连续，根据收敛定理当20x时，级数收敛于)(xf，当0x和2x时，级数收敛于22)02()00(21ff，所以202)2,0(sincos143422122或xxxnxnnxnn②令0x，得122221434nn，634241121222nn；令x，得1222)1(434nnn，123441)1(212221nnn.③1010)1ln(lim)1ln(dxxxdxxxdxnxxxxxnn11320)1(321lim12123220)1(32limnxxxxnn121)1(3121122122nn9三、补充练习1.判别下列级数的敛散性①1312lnnnn；②111nnnnnnn；③1312nnnnn；④11nnnn.（①收敛，②发散，③收敛，④发散）2.证明①若0na，且1nna收敛，则12nna收敛；②若nna（0na）有界，则12nna收敛；③na，0nb且1nna，1nnb收敛，则1nnnba与12nnnba收敛；④若12nna收敛，则1nnna（0na）也收敛.3.判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？①1sin)cos(nnn；②13cos2nnnn.（①条件收敛；②绝对收敛.）4.求下列级数的收敛区间①1)1ln()5(nnnx；②112122nnnxn；③124)2()1(nnnnnx；④