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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 质量控制/管理 > 第十章统计与概率10-8离散型随机变量及其概率分布(理)
第10章第8节一、选择题1.(2010·厦门质检)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m23k(k=1,2,3),则m的值为()A.1738B.2738C.1719D.2719[答案]B[解析]m231+m232+m233=1,∴m=2738.故选B.2.(2010·辽宁理)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16[答案]B[解析]恰有一个一等品即一个是一等品,另一个不是,则情形为两种,即甲为一等品,乙不是或乙为一等品甲不是,∴P=23×1-34+1-23×34=512,故选B.3.从甲袋中摸出一个红球的概率为13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,则概率等于23的是()A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率[答案]C[解析]两袋中各摸出一个球:①甲红,乙红,P1=13×12=16;②甲红,乙不是红,P2=13×1-12=16;③甲不是红,乙红,P3=1-13×12=13;④甲、乙都非红,P4=1-131-12=13.因此A的概率为56,B的概率为16,C的概率为23,D的概率为12,故选C.4.(2010·山东省实验中学)种植两株不同的花卉,它们的存活率分别为p和q,则恰有一株存活的概率为()A.p+q-2pqB.p+q-pqC.p+qD.pq[答案]A[解析]恰有一株存活的概率为p(1-q)+q(1-p)=p+q-2pq.5.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck+1,k=0,1,2,3,则E(ξ)=()A.1225B.2325C.1350D.4625[答案]B[解析]由条件知c+c2+c3+c4=1,∴c=1225,故分布列为ξ0123P1225625425325故E(ξ)=0×1225+1×625+2×425+3×325=2325,∴选B.6.(2010·江西文,9)有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率是p(0p1).假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概率为()A.(1-p)nB.1-pnC.pnD.1-(1-p)n[答案]D[解析]采用正难则反的方法,都通不过测试的概率为(1-P)n,则至少有一个通过测试的概率为1-(1-P)n.选D.7.在一次抽奖中,一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同,但编号不同),里面有n个号码为中奖号码,若从中任意取出4个小球,其中恰有1个中奖号码的概率为821,则这10个小球中,中奖号码小球的个数为()A.2B.3C.4D.5[答案]C[解析]设有x个小球的号码为中奖号码,则P(X=1)=Cx1·C10-x3C104=821,∴x(10-x)(9-x)(8-x)=480,将选项中的值代入检验知,选C.8.在四次独立重复试验中,事件A在每次试验中出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为6581,则事件A恰好发生一次的概率为()A.13B.23C.3281D.881[答案]C[解析]设事件A在每次试验中发生的概率为p,则事件A在4次独立重复试验中,恰好发生k次的概率为Pk=C4kpk(1-p)4-k(k=0,1,2,3,4),∴p0=C40p0(1-p)4=(1-p)4,由条件知1-p0=6581,∴(1-p)4=1681,∴1-p=23,∴p=13,∴p1=C41p·(1-p)3=4×13×233=3281,故选C.9.(2010·衡阳模拟)一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取ξ次球,则P(ξ=12)等于()A.C1210·3810·582B.C119·389·582·38C.C119·589·382D.C119·389·582[答案]B[解析]从口袋中任取一球,取到红球的概率为38.重复进行了ξ次取球试验,其中红球恰好取到了10次,ξ=12即进行了12次试验,其中前11次试验中出现了9次红球,第12次试验结果为红球,∴P(ξ=12)=C119·389×582×38.10.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}:an=-1第n次摸取红球1第n次摸取白球,如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为()A.C75132·235B.C72232·135C.C75132·235D.C73132·235[答案]B[分析]关键是弄清S7=3的含义:S7=a1+a2+…+a7,而ai的取值只有1和-1,故S7=3表示在ai的七个值中有5个1、2个-1,即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球.[解析]S7=a1+a2+…+a7=3表示七次取球试验中,有2次取到红球,而一次取球中,取到红球的概率P1=23,∴所求概率为P=C72232·135.二、填空题11.(2010·山东枣庄模拟)设随机变量X~B(n,0.5),且D(X)=2,则事件“X=1”的概率为________(用数字作答)[答案]132[解析]∵X~B(n,0.5),∴D(X)=n×0.5×(1-0.5)=2,∴n=8.∴事件“X=1”的概率为P(X=1)=C81×0.5×0.58-1=132.12.为了了解学生的体能素质,随机抽取一小组进行体能检测,要求每位学生长跑、跳远至少通过一项才算合格,已知通过长跑测试的有2人,通过跳远测试的有5人,现从中选2人,设ξ为选出的人中既通过长跑测试又通过跳远测试的人数,且P(ξ0)=710,则该小组有______人.[答案]5[解析]设该小组共有x人,其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有y人,则Pξ0=Cy1Cx-y1+Cy2Cx2=7102-y+y+5-y=x解得x=5或x=11237(舍去).所以该小组一共有5人.13.在一次考试的5道题中,有3道理科题和2道文科题,如果不放回的依次抽取2道题,则在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率为________.[答案]12[解析]设第一次抽到理科题为事件A,第二次抽到理科题为事件B,则两次都抽到理科题为事件A∩B,∴P(A)=35,P(A∩B)=310,∴P(B|A)=PA∩BPA=12.[点评]由于是不放回抽样,故在第一次抽到理科题条件下,相当于有2道理科题和2道文科题,从中抽一道,抽到理科题的概率为多少,故为P=12.14.(2010·上海大同中学模考)一个箱子中装有大小相同的1个红球,2个白球,3个黑球,现从箱子中一次性摸出3个球,每个球是否被摸出是等可能的,用ξ表示摸出的黑球数,则ξ的数学期望E(ξ)=________.[答案]32[解析]P(ξ=0)=C33C30C63=120,P(ξ=1)=C32C31C63=920,P(ξ=2)=C31C32C63=920,P(ξ=3)=C30C33C63=120,∴E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32.三、解答题15.(2010·温州十校)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球,从袋子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分.(1)若从袋子里一次取出3个球,求得4分的概率;(2)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸2次,求所得分数ξ的分布列及数学期望.[解析](1)从袋子里一次取出3个球,得4分的概率为P=C32C21C53=35.(2)依题意,ξ的可能取值为2,3,4.P(ξ=2)=352=925,P(ξ=3)=C21×35×25=1225,P(ξ=4)=252=425,故ξ的分布列为ξ234P9251225425故ξ的数学期望E(ξ)=2×925+3×1225+4×425=145.[点评]取球问题是随机变量的常见题型,要注意球有无颜色限制,摸球的方法,终止摸球的条件,记分方法等等附加了哪些限制条件,请再练习下列两题:1°口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球,甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球,每次摸出一个,规则如下:①若一方摸出一个红球,则此人继续进行下一次摸球;若一方摸出一个白球,则换成对方进行下一次摸球;②每一次摸球彼此相互独立,并约定由甲开始进行第一次摸球.求在前三次的摸球中:(1)乙恰好摸到一次红球的概率;(2)甲至少摸到一次红球的概率;(3)甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望.[解析]记“甲摸球一次摸出红球”为事件A,“乙摸球一次摸出红球”为事件B,则P(A)=P(B)=44+8=13,P(A-)=P(B-)=23,且事件A,B相互独立.(1)在前三次摸球中,乙恰好摸到一次红球的概率为P′=P(AA-B)+P(A-BB-)=13×23×13+23×13×23=29.(2)因为甲在前三次摸球中,没有摸到红球的概率为P1=P(A-·B)+P(A-·B-·A-)=23×13+233=1427,所以甲至少摸到一次红球的概率为P2=1-P1=1-1427=1327.(3)根据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=P(A-·B)=P(A-·B-·A-)=23×13+233=1427,P(ξ=1)=P(A·A-)=P(A-·B-·A)=13×23+232×13=1027,P(ξ=2)=P(A·A·A-)=132×23=227,P(ξ=3)=P(A·A·A)=133=127.故ξ的分布列为ξ0123P14271027227127数学期望E(ξ)=0×1427+1×1027+2×227+3×127=1727.2°袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球,其中1号球有1个,2号球有m个,3号球有n个.从袋中依次摸出2个球,已知在第一次摸出3号球的前提下,再摸出一个2号球的概率是13.(1)求m,n的值;(2)从袋中任意摸出2个球,设得到小球的编号数之和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).[解析](1)记“第一次摸出3号球”为事件A,“第二次摸出2号球”为事件B,则P(B|A)=m9=13,∴m=3,n=10-3-1=6.(2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.P(ξ=3)=1·C31C102=115,P(ξ=4)=1·C61+C32C102=15,P(ξ=5)=C31C61C102=25,P(ξ=6)=C62C102=13.ξ的分布列为ξ3456P115152513E(ξ)=3×115+4×15+5×25+6×13=5.16.(2010·广东理,17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量.(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505克的概率.[解析](1)重量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12件.(2)Y的分布列为Y012PC282C402C281C121C402C122C402(3)从流水线上取5件产品,恰有2件产品的重量超过505克的概率是C283C122C405=28×27×263×2×1×12×112×140×39×38×37×365×4×3×2×1=21×1137×19=231703.17.一位学生每天骑自行车
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