白阿茹娜+非时

第1页（共10页）2015年春季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:非线性时间序列分析学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:概率论与数理统计学生姓名:白阿茹娜学号:14S012038学生类别:硕士考核结果阅卷人-2-非线性时间序列分析的综述1时间序列分析1.1时间序列在生产和科学研究中，对某一个或一组变量x(t)进行观察测量，将在一系列时刻t1,t2,…,tn(t为自变量且t1t2…tn)所得到的离散数字组成序列集合x(t1),x(t2),…,x(tn)，我们称之为时间序列[7]，这种有时间意义的序列也称为动态数据。这样的动态数据在自然、经济及社会等领域都是很常见的。如在一定生态条件下，动植物种群数量逐月或逐年的消长过程、某证券交易所每天的收盘指数、每个月的GNP、失业人数或物价指数等等。1.2线性时间序列分析及其应用为了近一步分析平稳时间序列的统计特性，研究人员提出了所谓“参数化”模型，该模型是根据时间序列的观测值,0,1,tXt构造一个带参数的数学模型，使这种“参数化”模型既能反映产生时序的具体物理过程或动态系统的规律性，又能将相互关联的时序转化为互相独立的白噪声序列，以便进行分析和处理，为预报或控制提供依据。实际中常用的线性时间序列模型包括：AR模型，MA模型以及ARMA模型。在介绍这些线性时间序列模型我们首先学习几个重要的相关概念。1.2.1白噪声如果时间序列ir是一个有有限均值和有限方差的、独立同分布的随机变量序列，则称时间序列ir为白噪声。特别地，若ir还服从均值为0、方差为2的正态分布，则称这个序列为高斯白噪声，在实际应用中，如果所有样本自相关函数接近于零，则认为序列是白噪声序列。在对一些资产收益率进行更深入的分析之前，有必要对其前后相关性进行建模。我们将要讨论一些简单的线性时间序列模型。它们对时间序列的动态结构建模时是有用的，而且所述的思想在以后对资产收益率的波动率建模时也是很有用的。1.2.2自相关函数考虑一个弱平稳的序列tr，当我们考虑tr和起过去值tir之间的线性依赖关系时，tr和tir的协方差被称为tr的自协方差[8]，记作i，,ittiCovrr(1-1)相关系数被称为tr的滞后i的自相关（Autocorrelation）,通常记作i，-3-0,ttiiittiCovrrVarrVarr(1-2)给定样本序列1Tttr，令r是样本均值，tr的滞后i的自相关（Autocorrelation）ˆi定义为：121ˆTttitiiTttrrrrrr，01iT(1-3)作为i的一个函数的自相关被称为自相关函数（AutocorrelationFunction,ACF）。自相关函数在拟合观察值之间的相依性中扮演着重要角色。因此，过程的某个值与历史值的相关程度，即自相关函数，显示了过程的记忆长度和力度。1.2.3偏自相关函数偏自相关函数与自相关函数相同之处在于其传递了平稳过程相关结构的重要信息。与自相关函数相同，偏自相关函数也仅依赖于过程的二阶矩性质。偏自相关函数在时滞k处的值k可以看作是由插入观测值2,,krr后而调整1r和1kr的自相关函数。平稳时间序列的偏自相关函数（PACF）定义为：2111,Corrr2211111,,1,,,kkkksprrsprrkCorrPrrPr，2k(1-4)其中，211,,kksprrPr和211,,ksprrPr分别表示1kr和1r在21,,krr张成空间上的投影。偏自相关函数k，2k是把1r和1kr分别关于其中间的观测值2,,krr回归后的两个残量的相关函数。1.2.4线性时间序列模型自回归模型AR（p）自回归模型（AutoRegressivemodel），简称AR模型[9]。P阶自回归模型AR(p)为：011ttptptrrra(1-5)其中p是非负整数，ta是均值为零，方差为2a的白噪声序列。这个模型是一个多重线性回归模型，可以看作是滞后值作为解释变量。AR(p)模型的性质假设121p，则有：011tpEr(1-6)模型的特征方程为：12120ppppxx(1-7)平稳AR(p)模型的ACF满足的差分方程为：-4-21210pplBBB(1-8)ACF的性质取决于差分方程的特征根。由于所有AR过程都有“衰减”的ACF，我们很难区分不同阶数的过程。为了帮助识别它们，我们可以利用偏自相关函数（PartialAutocorrelationFunction,PACF）。一般说来，两个随机变量的相关性通常起因于它们与第三个变量的相关性。tx与tkx的大部分相关性可能是出于这个变量与介于其间的滞后值1tx，2tx，1tkx的相关性。为了对这种相关性做出调整，我们可以计算偏自相关。K阶偏自相关是AR（k）过程：11tktkktktxxxa中的系数kk，它测量了对介于其间的滞后值做出调整后的额外相关性。从kk的定义，我们得到AR过程的PACF具有下列特殊形式：AR（1）：1110,1kkkAR（2）：111，221222110,2kkkAR（p）：11220,0,0,PP0,kkkP因此，大于过程阶数之时滞的偏自相关等于零。一个AR（p）过程有以下两点描述：（i）ACF是无限的，并且为指数衰减和正弦衰减波动函数的组合；（ii）大于p之时滞的PACF为零。移动平均模型MA（q）移动平均模型是另一类非常有用的模型。我们可以将其看作是白噪声序列构成的模型。MA(q)模型可以写为：011tttqtqrcaaa(1-9)其中，0q。一般来说，移动平均模型都是弱平稳的，因为他们是前二阶矩是不变的白噪声序列的有限线性组合；满足移动平均模型的时间序列的均值是模型的常数项，即0tErc(1-10)方差是2222121tqaVarr(1-11)对于一个MA(q)模型，其滞后q的自相关函数非零，但是对于lq，有0l。因此，一个移动平均序列的某时刻的值只与它的之前的q个值线性相关，从而是一个有限记忆模型。我们可以证明一个MA（q）过程的PACF是无限的，即，它逐渐衰减。MA过程之PACF的直接表达式十分复杂，但一般而言，他们是由指数衰减函数以及/或正弦衰减函数的组合主导的。因此，它们的模式与AR过-5-程的ACF十分相似。的确，AR过程和MA过程之间存在一个重要的对偶性：尽管一个AR（p）过程的ACF是无限的，但PACF在时滞p后截断。而另一方面，一个MA（q）过程的ACF在时滞q后截断，但其PACF是无限的。自回归移动平均模型ARMA（p，q）我们也可以考虑自回归模型和移动平均模型的结合。一般的ARMA(p,q)模型可以写作：011pqtitititiiirraa(1-12)这里,pq为非负整数，ta是白噪声序列。AR模型和MA模型都是ARMA模型的特例。引入延迟算子，ARMA(p,q)模型可以写成：10111pqptqtBBrBBa(1-13)若所有特征根的模小于1，则自回归移动平均模型平稳，此时，它的无条件均方为：011tpEr(1-14)2条件异方差模型本小节的目标是研究一些在文献中用来给资产收益率的波动率（volatility）建模的经济计量模型，称为条件异方差（conditionalheteroscedastic）模型。本节讨论的一元波动率模型包括Engle在1982年提出的自回归条件异方差（ARCH）模型，Bollerslev在1986年提出的推广的自回归条件异方差（GARCH）模型，Nelson在1991提出的指数GARCH模型，还有GARCH模型的一些其他拓展模型，例如IGARCH和GARCH-M模型。2.1ARCH模型ARCH模型的基本思想是：(a)序列ta是序列无关的，但是相互依赖；(b)ta的相互依赖性可以用t之前的值的一个简单二次函数描述。因此，一个ARCH(m)模型可以写成：ttta，222011ttmtmaa，00,00ii(2-1)这里，t是一列均值为0，方差为1的独立同分布随机变量。在实际应用中，t经常被假设服从标准正态分布或标准t分布。从模型的结构可以看出，一个过去的较大的平方扰动21mtiia意味着一个较-6-大的条件方差2t，因而，从模的意义上来说，ta将会比较大。这意味着，ARCH模型所描述的时间序列，具有大的波动之后跟随着大的波动的特点。这与研究资产报酬率中的波动集群现象非常相似。可以从ARCH(1)模型来讨论ARCH模型的性质。2.1.1ARCH（1）模型ttta，22011tta（2-2）其中010,0由10tttttEaEEaFEE（2-3）可知，ta的均值为0。由22221011011ttttttVaraEaEEaFEaEa且0tEa，211tttVaraVaraEa(2-4)知：01,1tVara101(2-5)在某些情况下，需要ta的高阶矩存在，这时，1还必须满足其它一些条件。例如，研究ta的尾部的情况，我们需要ta的四阶矩有限。在t服从正态分布的假设下，有：2242211101133tttttEaFEaFa(2-6)故2442222411011001111332ttttttEaEEaFEaEaa(2-7)若ta是4阶平稳的，有44tmEa，那么，2240011432tmVaram(2-8)201421131113m(2-9)此式有两个重要涵义：第一、40m，故21130，即21103；第二、ta的偏度为242201112222011131113313113ttEaVara，说明与正态分布相比，ta表现出一种厚尾特性。这些性质对于一般的ARCH模型都是成立的，但是高阶的ARCH模型表达式会更加复杂。实际上，ARCH模型的更一般的写法是：ttta，2'0,1,1tmtmtAA(2-10)-7-其中，',11,,mtttmAaa，是mm非负定矩阵。2.1.2ARCH模型的缺点ARCH模型有不少优点，包括前面讨论的性质。这个模型也有一些缺点：（1）ARCH模型假定正的抖动和负的抖动对波动率有相同的影响，因为波动率依赖于以前抖动的平方。实际中，金融资产的价格对正的和负的抖动的反应是不同的。（2）ARCH模型对参数的限制是相当严格的。比如，若序列有有限的四阶矩，则ARCH（1）模型中的21必须在10,3区间中。对高阶的ARCH模型，这种约束会变得更复杂。（3）对于一个时间序列变化的来源，ARCH模型不能提供任何新见解。它只是提供一个机械的方式来描述条件方差的状态，而对由什么引起这种变化没有给出任何启示。（4）ARCH模型会过高估计波动率。因为它对收益率序列大的孤立的抖动反应缓慢。2.1.3ARCH模型的建立建立ARCH模型的简单方法包括三个步骤：（1）对收益率序列建立一个经济计量模型，如ARMA模型，以分离出数据中的任何线性相关成分，并用该模型的残差序列检验A