第四章三角函数与三角形4-5简单的三角恒等变换

第4章第5节一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋π4)－sin2(x＋π4)，x∈R，则函数f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数[答案]A[解析]f(x)＝cos(2x＋π2)＝－sin2x为奇函数，周期T＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝()A．2πB．πC.π2D.π3[答案]B[解析]y＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x2＋12sin2x＝12＋22sin2x－π4，∴最小正周期T＝π.2．(2010·重庆一中)设向量a＝(cosα，22)的模为32，则cos2α＝()A．－14B．－12C.12D.32[答案]B[解析]∵|a|2＝cos2α＋222＝cos2α＋12＝34，∴cos2α＝14，∴cos2α＝2cos2α－1＝－12.3．已知tanα2＝3，则cosα＝()A.45B．－45C.415D．－35[答案]B[解析]cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案]B[解析]∵sinAsinB＝cos2C2，∴12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋cosC)，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，∴cos(A－B)＝1，∵－πA－Bπ，∴A－B＝0，∴△ABC为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f(x)＝2sin(x－π2)＋|cosx|的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π[答案]C[解析]f(x)＝－2cosx＋|cosx|＝－cosxcosx≥0－3cosxcosx0，画出图象可知周期为2π.6．(2010·揭阳市模考)若sinx＋cosx＝13，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为()A．±173B．－173C.13D.173[答案]D[解析]由sinx＋cosx＝13两边平方得，1＋2sinxcosx＝19，∴sin2x＝－890，∴x∈π2，π，∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝179且sinxcosx，∴sinx－cosx＝173，故选D.7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是()A．x≤yB．x＜yC．x≥yD．x＞y[答案]D[解析]∵πA＋B＞π2，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB0，那么a、b、c满足的关系是()A．2abc2B．a2＋b2c2C．2bca2D．b2＋c2a2[答案]B[解析]∵cos(2B＋C)＋2sinAsinB0，且A＋B＋C＝π，∴cos(π－A＋B)＋2sinA·sinB0，∴cos(π－A)cosB－sin(π－A)sinB＋2sinAsinB0，∴－cosAcosB＋sinAsinB0，即cos(A＋B)0，∴0A＋Bπ2，∴Cπ2，由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴a2＋b2－c20，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象()A．向左平移π2个单位长度B．向左平移π4个单位长度C．向右平移π2个单位长度D．向右平移π4个单位长度[答案]D[解析]y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，将f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移π4个单位得，sin2x－π4＝sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos2x，故选D.9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈π4，π，若a·b＝25，则tanα＋π4的值为()A.13B.27C.17D.23[答案]C[解析]a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝25，∴sinα＝35，∵π4απ，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34，∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17.10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sinα＋1－sinα等于()A．－2cosα2B．2cosα2C．－2sinα2D．2sinα2[答案]C[解析]∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sinα＋1－sinα＝1＋2sinα2cosα2＋1－2sinα2cosα2＝sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－(sinα2＋cosα2)－(sinα2－cosα2)＝－2sinα2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sinπ2＋θ＝35，则cos2θ＝________.[答案]－725[解析]∵sinπ2＋θ＝35，∴cosθ＝35，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝tanx－tan3x1＋2tan2x＋tan4x的最大值与最小值的积是________．[答案]－116[解析]y＝tanx－tan3x1＋2tan2x＋tan4x＝tanx1－tan2x1＋tan2x2＝tanx1＋tan2x·1－tan2x1＋tan2x＝sinxcosxcos2x＋sin2x＋cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝12sin2x·cos2x＝14sin4x，所以最大与最小值的积为－116.13．(2010·浙江杭州质检)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．[答案]1[解析]y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋(sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为cos10°－sin40°2＋sin10°＋cos40°2＝2＋2sin10°cos40°－cos10°sin40°＝2＋2sin－30°＝1.14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2θ2＝________.[答案]13[解析]设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝3r2，∴OD＝r2，∴CD＝32r，∴tanθ＝CDOD＝3，∵tanθ＝2tanθ21－tan2θ2，∴tanθ2＝33(负值舍去)，∴tan2θ2＝13.(理)3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.[答案]－43[解析]3tan12°－34cos212°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12°＝23sin12°－60°12sin48°＝－43.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝23时，f(x)取最小值－73.(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的最大值及最小值．[解析](1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝222cos2x＋22sin2x＝2sin2x＋π4.∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，∴当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)有最大值2；当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f(x)有最小值－1.16．(文)设函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sinA的值．[解析](1)f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12－32sin2x，所以函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f(C2)＝12－32sinC＝－14，所以sinC＝32，因为C为锐角，所以C＝π3，在△ABC中，cosB＝13，所以sinB＝223，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝223×12＋13×32＝22＋36.(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM→＝(sinB＋cosB，cosC)，ON→＝(sinC，sinB－cosB)，OM→·ON→＝－15.(1)求tan2A的值；(2)求2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4的值．[解析](1)∵OM→·ON→＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－15，∴sinA＋cosA＝－15①两边平方并整理得：2sinAcosA＝－2425，∵－24250，∴A∈π2，π，∴sinA－cosA＝1－2sinAcosA＝75②联立①②得：sinA＝35，cosA＝－45，∴tanA＝－34，∴tan2A＝2tanA1－tan2A＝－321－916＝－247.(2)∵tanA＝－34，∴2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4＝cosA－3sinAcosA＋sinA＝1－3tanA1＋tanA＝1－3×－341＋－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－3sinaxcosax(a0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈0，π2，求点A的坐标．[解析](1)f(x)＝sin2ax－3sinaxcosax＝1－cos2ax2－32sin2ax＝－sin2ax＋π6＋12，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－12或m＝32，由题设知，函数f(x)的周期为π2，∴a＝2，所以m＝－12或m＝32，a＝2.(2)∵f(x)＝－sin4x＋π6＋12，∴令sin4x＋π6＝0，得4x＋π6＝kπ(k∈Z)，∴x＝kπ4－π24(k∈Z)，由0≤kπ4－π24≤π2(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为5π24，12或11π24，12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cos