第四章不定积分习题课-带解答

.1.第四章不定积分习题课1．原函数若)()(xfxF，则称)(xF为)(xf的一个原函数．若)(xF是)(xf的一个原函数，则)(xf的所有原函数都可表示为CxF)(．2．不定积分)(xf的带有任意常数项的原函数叫做)(xf的不定积分，记作dxxf)(．若)(xF是)(xf的一个原函数，则CxFdxxf)()(，3．基本性质1）)(])([xfdxxf，或dxxfdxxfd)(])([；2）CxFxdF)()(，或CxFdxxF)()(；3）dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([；4）dxxfkdxxkf)()(，（0k，常数）．4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5.例题例1已知)(xf的一个原函数是x2ln，求)(xf．解xxxxf1ln2)(ln)(2，)ln1(2ln2)(2xxxxxf．.2.例2设Cxdxxf2sin2)(，求)(xf．解积分运算与微分运算互为逆运算，所以2cos]2sin2[])([)(xCxdxxfxf．例3若)(xf的一个原函数是x2，求dxxf)(．解因为x2是)(xf的原函数，故2ln2)2()(xxxf，所以CCxfdxxfx2ln2)()(．例4求不定积分dxexx3．解被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即dxedxexxx)3(31Ceex)3()3ln(111Cexx3ln13．例5求不定积分dxxx2sin．解利用求导运算与积分运算的互逆性，得Cxxdxxx22sinsin．例6求不定积分dxxxx533．解先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．Cxdxxdxxdxxxx15261511533115332615．.3.例7求不定积分dxxxxxx32313．解分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即dxxxxxxxdxxxxxx3233232113dxxx12112Cxxxarctan2||ln．例8求不定积分dxx2cos11．解用三角恒等式xx2sin212cos将被积函数变形，然后积分．dxxdxx2sin212cos11xdx2csc21Cxcot21．例9求不定积分dxxx)sec(tan22．解用三角恒等式1sectan22xx将被积函数统一化为x2sec的函数，再积分．dxxxdxxx)sec1(sec)sec(tan2222dxx)1sec2(2Cxxtan2．例10求不定积分dxxxx)1(21222．解dxxxxxdxxxx)1(1)1(212222222dxxx22111Cxx1arctan．.4.例11求不定积分dxxx)1(124．解类似于例10，拆项后再积分dxxxxxxxdxxx)1(1)1(124442224dxxxx2241111Cxxxarctan1313．例12一连续曲线过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于x2，求该曲线的方程．解设曲线方程为)(xfy，则xxf2)(，积分得Cxdxxxfln22)(．（曲线连续，过点)3,(2e，故0x）将3)(2ef代入，得Ce2ln23，解出1C．所以，曲线方程为1ln2xy．例13判断下列计算结果是否正确1）Cxdxxx322)(arctan311)(arctan；2）Cedxexx1ln11．解1）2231)(arctan)(arctan31xxCx，所以计算结果正确．2）xxxxeeeCe111)1ln(，计算结果不正确，即Cedxexx1ln11．.5.以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式1）0a时，)()(1)(baxdbaxfadxbaxf．2）xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin．3）xdxxfsin)(cos4）dxxxf1)(ln5）0a，1a时，dxaafxx)(6）0时，1()fxxdx7）xdxxf2sec)(tan8）xdxxf2csc)(cot9）dxxxf211)(arcsin10）dxxxf211)(arctan11）dxxfxf)()(例14求dxxxxcossintanln．解xdxxxdxxxx2sectantanlncossintanlnxdxxtantantanln)tan(lntanlnxdxCx2tanln21．.6.注由于被积函数中含有xtanln，表明0tanx，故xdxdxtanlntantan1．例15求下列不定积分1）dxxxxln1ln；2）dxxx100)1(．解1）dxxxxdxxxx1ln111lnln1ln(请注意加1、减1的技巧))ln1(ln11ln1xdxxCxx2123)ln1(2)ln1(32．2）dxxxdxxx100100)1()11()1()1()1()1()1(100101xdxxdxCxx101102)1(1011)1(1021．例16设Cxdxxf2)(，不求出)(xf，试计算不定积分dxxxf)1(2．解2221(1)(1)(1)2xfxdxfxdx（将21x看作变量u）Cx22)1(21．例17设xexf)(，求dxxxf)(ln．解先凑微分，然后利用Cufuduf)()(写出计算结果．即xdxfdxxxfln)(ln)(lnCxf)(lnCexlnCx1．.7.例18计算不定积分dxxx)1(124．【提示】分母中有kx时，考虑用“倒代换”tx1．解设tx1，则dttdx21，4224211111(1)1dxdtxxtttdttt241dttt24111dttt221113arctan3tttC3111arctan3Cxxx．例19求不定积分dxxx)4(16．解dxxxxdxxx)4()4(16656)()4(161666xdxxdttttx41616dttt4112411ln244tCt661ln244xCx．分部积分vdxuuvvduuvudvdxvuvu、交换凑微分．目的，使公式右边的积分uvdx要比左边的积分dxvu容易计算，关键在于正确地选取u和凑出．例20求不定积分dxxxarcsin．解一这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令xt，.8.则2tx，tdtdx2，tdtttdxxx2arcsinarcsinvutdtarcsin2tdtttarcsinarcsin2dttttt212arcsin22212arcsin(1)1ttdttCttt212arcsin2Cxxx12arcsin2．解二先凑微分，再代换，最后分部积分，即xdxdxxxarcsin2arcsindtttxarcsin2dttttt212arcsin2Cttt212arcsin2Cxxx12arcsin2．例21已知)(xf的一个原函数是2xe，求dxxfx)(．【提示】不必求出)(xf，直接运用分部积分公式．解由已知条件，)(xf2xe，且dxxf)(Cex2，故)()(xxdfdxxfxdxxfxxf)()(Ceexxx22Ceexxx2222．.9.例22设xxxfln)1()(ln，求)(xf．解先求出)(xf的表达式．设txln，则tex，)1()(tettf．dtettft)1()(tdttdet22tdtetettCtetett22,所以Cxexexfxx2)(2．例23求不定积分5432xxdxxx．解将分子凑成23332()()2xxxxxxxxxx，把分式化为多项式与真分式的和542233221xxxxxxxxxx；再将真分式232xxxx化为最简分式的和，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1xxxxxxxxxxxxxxxxxx，于是5423221(1)1xxdxxxdxxxxx322lnln132xxxxxC．.10.例24求不定积分dxxxx)1(188．解dxxxx)1(188dxxxxx7888)1(1)()1(1818888xdxxxduuuu)1(181（换元，令8xu）duuu12181Cuu)1ln(41ln81Cxx881ln41ln81Cxx81ln41||ln．例25求不定积分dxxsin11．解dxxxdxx2sin1sin1sin11dxxx2cossin1dxxxx)sectan(sec2Cxxsectan．例26求不定积分dxxxx)11()1(11365．解为同时去掉三个根式，设tx61，则16tx，dttdx56，dtttttdxxxx52533656)1(1)11()1(1132161tttdttdttttt221116Ctttarctan61ln33223311ln313xxCx61arctan6．