第四章功与能

第四章功与能（二）（三）动能·动能定理1．动能一个物体有作功的本领，我们就说这物体具有能量，物体的能量愈大，能作的功也就愈多．物体因运动而具有的作功本领叫物体的动能，物体运动的速度愈大，本身的速度也就愈大．究竟物体的动能和质量、速度之间有什么关系呢？下面通过计算给出这个关系。运动质点以力f施于他物，并使后者位移，则运动质点对他物作出的功W’即为21'Wdfr（4.10）既然运动质点以力f施于他物，他物亦必以力F施于运动质点，力f与F为作用力与反作用力，Ff质点在F的作用下将改变其速度，运动方程为xFmx，yFmy，zFmz（4.11）以dx即xdt乘第一式，以dy即ydt乘第二式，以dz即zdt以乘第三并且相加，以计算力所作的功，xyzFdxFdyFdzmxdxmydymzdz即xyzfdxfdyfdzmxdxmydymzdz两边积分2222211111()222xyzfdxfdyfdzdmxmymz即221211'22Wmvmv（4.12）由此可见，运动质点的212mv值的减少正等于它所作出的功。因此，我们定义以速度v运动的质点的动能为212mv，并将静止质点的动能规定为零。质点的动能为T，212Tmv（4.13）动能只与速度的大小有关，与速度的指向无关2．动能定理研究其他物体对质点作功，若质点受力为F，力F对质点作的功为21xyzWFdxFdyFdz2221211122mvmvTT21TTW（4.14）运动质点动能的增长等于其他物体对它所作的功，这就是质点的动能定理．（四）质点组的动能和动能定理1．质点组的动能质点组的动能应是组内每一质点动能之和，即212iiiiiTTmv可以证明质点组的动能等于质心的动能加上质点组相对于质心的相对运动的动能之和，即20012'2iiiTmvmv（4.15）式中'iv为质点组内第i个质点相对质心的速度大小．上式即0'TTT，这通常称为柯尼希定理．将质点组的动能划分为质心的动能0T与质点组相对于质心的动能'T，这种作法是很有益的．例如，在冰冻的路面上，由于路面太滑，常会使汽上轮子“空转”而车身原地不动．汽车，作为一个质点组来看，这时动能也许还相当大，但这动能完全是汽车内部机件的相对运动动能，或者说，各部分相对于质心的动能'T，它完全不反映汽车行驶的快慢．汽车的质心动能才反映汽在行驶的快慢，在本例00T．2．动能定理若质点组包含N个质点，有内力及外力作用．质点运动时，外力作功。内力也作功，对每一质点应用动能定理21iiiTTW（外）+iW（内）（4.17）而内力的功又可表为iW（内）12iiiN（4.18）因为质点不会对自己作功，所以上式中应除去iiW的一项．对质点组内所有的质点求和，21111NNNiiiiiiTTW（外）＋1NiiW（内）（4.19）在质点组中内力虽是成对出现，但因为质点间可以有相对运动，所以内力的功的总和并不为零。例如，质点i与k之间，内力ikF对质点i作正功，其反作用力kiF对质点k也作正功，正功之和自然不会为零。质点组的动能定理为21TTW（外）＋W（内）（4.20）上式中的T表示质点组的总动能，W（外）表示外力的功的总和．W（内）表示内力的功的总和．在动能定理中，内力可以改变质点组的总动能．这一点和质点组的动量定理和动量矩定理不同．内力只能改变质点组内各个质点的动量和动量矩，但却不能改变质点组总的动量和动量矩．例如，静水上的小船，人在船上行走，船会向后退，这是因为如将人与船看成是一个质点组，人在船上行走时，人与船之间有内力作用，借助这内力的功，可以使人与船运动起来，动能增加，但却不能使人与船的质心运动，不能用这个方法使船行驶，他们的总动量，即质心的动量保持为零.（五）势能1．势力（保守力）若力所作的功与质点运行的中间途经无关，只与起点与终点的位置有关．或者换句话说，如质点循闭合途径运行一周，力所作的功为零，这种力就称图4-3为势力（或保守力）．如力所作的功与中间途径有关．或者说，质点循闭合途径运行一周，力所作的功并不为零，这种力称耗散力．保守力有万有引力、弹性力及静电场力等，耗散力有摩擦力等。2．势能势力作的功既和质点运行的中间路径无关，只由起点与终点的位置决定，那么这功就可以表示为某个位置函数V（r）所减少的值即1221[]WVV（4.21）由此引出“质点在势力场中的势能”概念．我们认为质点在势力场中各点具有一定的势能V，从位置1到2，质点所减少的势能被定义为势力对质点所作的功．这样就使得势力场中的功的计算变得极为简便，只要一次求出势能()Vr，就可以算出势力经过各种轨道从一点到另一点时所作的功，而不需要用积分式21WdFr来计算功。势能的变化代表势力所作的功。势能减少，势力作正功；势能增加，势力作负功．从势能的定义已经可以看出，耗散力是不存在势能的，耗散力作的功，不仅与起点和终点的位置有关，还与中间经过的路径有关，所以它所作的功不可能表示为21[]WVV，即不存在势能．势能的定义中只规定了势能差，势能本身并未被确切定义．我们可以将势力场中各处的势能普遍加或减同一任意常数，势能差不变．所以我们要确定某点的势能值，就必须先规定某特定点的势能值（通常规定为零），这样任意位置的势能就有确定的值了．（1）重力势能．在质点距地面高度变化不十分大的情况下，将质点所受地心引力看作常数．这时，通常规定地球水平面处势能为零．质点的重力势能为Vmgh（4.22）式中h为质点距水平面的高度（2）质点距地心高度变化很大时的重力势能．这时，。通常规定距地心无限远处势能为零，质点的重力势能为2RVmg（4.23）式中R为地球半径，为质点与地心距离（3）弹性势能系在弹簧上的质点可在弹簧的弹性力作用下运动，通常规定弹簧既不伸长也不缩短时的势能为零，质点的弹性势能为212Vkx（4.24）图4－4图4－5图4-6式中x为质点距平衡点的距离。3．势能属于谁上面说到，质点距地面高度变化不十分大的情况下，质点的重力势能Vmgh，而质点距地心高度变化很大的情况下，质点的重力势能2/VmgR，按照这种说法，似乎重力势能是单单属干质点的．其实，确切地说，重力势能是属于质点一地球系统的，因此应称为质点一地球系统的重力势能．同样，弹性势能212kx也应是质点一弹簧系统的．