第四章可压缩流动的数值方法I(A)

第四章无粘可压缩流动的数值方法（I）（特性分析及其应用）无粘可压缩流动（气体力学范畴），其描述的方程以双曲型为主，（仅当定常亚音速流动时为椭圆型问题），故这类问题的数值解法与双曲型问题的特征性质紧密相关，它的很多数值方法的特点建立于特征分析基础之上的；无粘可压缩流动的另一个特点是；存在激波解（间断），在数值处理方面将带来新的问题，本章的主要内容：第一部分包含双曲问题的特征方法及其延伸，第二部分是激波间断的数值解法。§4.1双曲方程的特征分析一，两个自变量的双曲方程的特征分析方程；CyUBxUAU,C为m维向量A,B为m×m维矩阵1,定义：如果存在偏微分方程的线性组合，使得所有的未知量都只保留在某一个方向上的微分，则这个方向称之为特征方向。如果一条曲线上每一点的切线方向都是特征方向，则该曲线称之为特征线。2．特征线性质；1）在特征线上不能任意给初值，它必须满足（沿特征线的）切向微分关系即特征关系，或称特征相容关系；这一性质的另外一些说法是；在特征线上给定初值问题（柯西问题）是不适定的，即不能由此唯一地确定其领域上的解（若此给初值不满足相容关系则无解，若满足特征相容关系，则有无穷多组解）2）特征线是解的唯一可能的分支线（非切向导数不唯一确定）3）特征线是解可能有间断的一阶导数的线（即在特征线上一阶导数可有间断）4）特征线是信息传播的迹线；3．特征方程及特征相容关系的求法1）求法1，（气体力学中已有介绍）例；定常超音速小扰动方程:oMyyxx)1(2为扰动速度势B．C．：walldxdyUoxgy,,0oyox,,0或返回原变量，即：xuyv有)1(0)2(02yvxuyuxv11:222MM其中为了寻找特征线方程，设ds方向为特征方向，并在ds方向上求微分：(切向微分))3(dsdudsdyyudsdxxu)4(dsdvdsdyyvdsdxxv由(1)-(4)式,如果要使得不能唯一确定,,,,yvxvyuxu的解，由线性代数方程性质应有其系数矩阵为奇异，即0000001101002dsdydsdxdsdydsdx：由此解得;1dxdy―――特征线方程进而,若满足1dxdy,即在沿特征线方向上,,,,,yvxvyuxu要有非零解的条件应是：000001101000dsdydsdxdsdvdsdydsdu展开并代入：1dxdy得：1dxdydvdu即constvuvuddxdy或01constvuvuddxdy或012）求法2；利用矩阵的特征分析方法考虑双自变量的双曲方程；UHxUFtUr守恒型方程或UHxUAtUR非守恒型方程，UFA若A(U)有m个互异的实特征值和完备的特征向量组,则称方程是严格双曲型的.记特征值为m.321左特征向量组;m,321,,根据矩阵的特征分析，有：iiiwAw则特征线方程为midtdxCii,....3,2,1:并且相应的特征相容关系：(特征化形式的方程);1)1()1(1)(mmimmiUHwxUAtUw（相当于将原方程组的每一个方程乘以某一权后再线性叠加!）)(UHwxUwtUwiiii代入)(:UHwdtdxxUtUwdtdxiii得)(UHwdtdUwiciimidtUGdtUHwdUwicii,....2,1)()(若定义左特征向量矩阵为：mmmjmimijiimjmi12111121121则相容关系写成;)(UHLxUAtULmm)(LLL11UHxUtUmm特征值对角线矩阵1LALLLA1※采用方法（2）对方法（1）之例题，可以得到完全相同的结果。§4.2双曲型问题的特征线算法由以上导出的特征线方程以及特征相容关系可以建立特征线算法一，Massau特征线法;(二维问题)考虑m=2,即两个因变量的简单状况,有;特征线Ci:2,1idtdxi相容关系dtgduduc12121111dtgduduc22221212设物理问题由一条非特征线(曲线)为初值线,则线上的21,uu均为已知值.具体步骤：1.初值线分割;初值线分割类似于网格划分各个离散点的坐标jjtx,均为已知其函数值),(),,(00020001jjjjjjtxutxu即为初值。2，Massau的特征线方法计算流程：由ojojPP1,分别向上(t正方向)引21,CC特征线,21,CC交于1jp点1,2.1JjP0jP0j＋1C1C2P1jS1SJxt首先计算新的离散点的坐标值，由（离散dtdxi求得）ojjojojjPtPtPPxPx1*11ojjojojjPtPtPPxPx111*211联立求解出；11,jjPtPx即新的离散计算点的坐标值由相应的相容关系，差分离散后计算新的离散点（计算点）上的函数值。即；02120*1201110*11jjjjjjPuPuPwPuPuPw010*1jjjPtPtPg1121201*220121101*21jjjjjjPuPuPwPuPuPw01101*2jjjPtPtPg联立求出1211,jjPuPu3.校正计算以上计算中，从差分逼近上说，只是采用了沿特征线上用向前差分代替了微分关系，其精度是,maxo为一阶精度，为此再进行校正计算以求达到二阶精度办法是：121*jojojPfPfPf11211*jojojPfPfPf其中f匹配为wg,,等.4逐层计算过程.由32相当于向前推进一步,(层),一直计算下去,直至离散改变为一个为止,计算得出一个曲边三角形.二.Courant-Isaacson-Rees差分特征线方法。Massau特征线法的缺点：网格和函数值混在一块儿计算,故求出的离散点的位置是很不规则的,数据处理麻烦；当3m以后massau方法更难于确定新的层面上的离散格点的位置,C-I-R的差分特征线方法,其实质上是非线性方程的迎风差分格式,故精度为一阶.它克服了Massau方法的不足◆方法具体步骤：（以m=3为例介绍）1、求解域的离散（网格划分），在满足CFL条件下的单纯网格划分；即1maxuxti分析，过D有三条特征线，并分别交AC于P1P2P3点，由CFL条件知P1P2P3在AC之内,对此有：0dtUdxici3,2,10idtUGdUwiici但上式积分,仅当iiwiG为常数时，才可以精确积出。在一般情况下必须考虑数值（近似）计算.。C-I-R类似地也采用预估-校正方法，具体步骤：n＋1j-1DCC3C22C1BAP3P2P1jj+1ni);)3.2.1(ipixiP的坐标值求tUxxnjiPij.*由3,2,1.*itUxxnjijPiii),pinixUP点上的函数值求采用线性插值公式（内插）nsjinjiinUcUcPU10*101.**iinjiisxtUc同时计算PiUniPiUwniPiUgniiii).11,iiinjgwnjU点的，以及对于差分预估采用差分格式为；nPinjnjnPinjnjnPiiiiUgxUUUstUUUW*1*1*)(联立上述方程，求出1njU的第一次近似值，同时计算:.1njiU,.1njiUw,.1njiUgiv校正计算；重复（1-3）的步骤，但所有的系数iiiGw均按特征线Ci的上,下两个端点的值,做算术平均值代替,校正计算一般进行一次,至多二次。这一算法与特征线偏心差分方法本质区别在于，它是非线性方程的迎风格式满足CFL条件下格式稳定一阶精度，故有格式耗散（格式粘性）