第四章微讲座(四)求极值的六种方法

微讲座(四)——求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐.下面介绍极值问题的六种求解方法.一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．(2014·高考安徽卷)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2.则ω的最大值是()A.5rad/sB.3rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s[解析]当物体转到最低点时，恰好不滑动的临界条件为：物体受到静摩擦力达到最大值，即Ff＝Ffm，此时转盘的角速度最大，受力如图所示(其中O为对称轴位置)．由沿斜面的合力提供向心力，有Ffm－mgsin30°＝mω2R由题意知：Ffm＝Ff＝μmgcos30°解得：ω＝g4R＝1.0rad/s，C正确．[答案]C二、二次函数极值法对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，y有最小值ymin＝4ac－b24a，当a＜0时，y有最大值ymax＝4ac－b24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[解析]设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则自行车的位移：x自＝v自t汽车的位移：x汽＝12at2则t时刻两车的距离Δx＝v自t－12at2代入数据得：Δx＝－32t2＋6t当t＝－62×－32s＝2s时，Δx有最大值Δxmax＝0－624×－32m＝6m.对Δx＝－32t2＋6t也可以用配方法求解：Δx＝6－32(t－2)2显然，当t＝2s时，Δx最大为6m.(说明：此题也可用临界法求解．)[答案]见解析三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．(2013·高考山东卷)如图所示，一质量m＝0.4kg的小物块，以v0＝2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g取10m/s2.(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；(2)拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？[解析](1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得：L＝v0t＋12at2①v＝v0＋at②联立①②式，代入数据解得：a＝3m/s2，v＝8m/s.(2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：Fcosα－mgsinθ－Ff＝ma③Fsinα＋FN－mgcosθ＝0④又Ff＝μFN⑤联立③④⑤解得：F＝mgsinθ＋μcosθ＋macosα＋μsinα⑥由数学知识得：cosα＋33sinα＝233sin(60°＋α)⑦由⑥⑦式可知对应的F最小值与斜面的夹角α＝30°⑧联立⑥⑧式，代入数据得F的最小值为：Fmin＝1335N.[答案](1)3m/s28m/s(2)夹角为30°时，拉力最小，为1335N四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析]由FfFN＝μ知，不论Ff、FN为何值，其比值恒定由图知FfFN＝μ＝tanα，即F′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg、F′、F构成闭合三角形．显然，当F⊥F′时，F最小．Fmin＝mgsinα＝mgtanα1＋tan2α＝μmg1＋μ2.(说明：此题也可用三角函数法求解．)物体受力分析如图．由平衡条件得：F·cosθ＝Ff①F·sinθ＋FN＝mg②又Ff＝μFN③联立①②③得：F＝μmgcosθ＋μsinθ令sinα＝11＋μ2，cosα＝μ1＋μ2则F＝μmg1＋μ2sinα＋θ当sin(α＋θ)＝1时，Fmin＝μmg1＋μ2.[答案]μmg1＋μ2五、均值不等式法任意两个正整数a、b，若a＋b＝恒量，当a＝b时，其乘积a·b最大；若a·b＝恒量，当a＝b时，其和a＋b最小．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？[解析](1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向14d＝12gt2，水平方向d＝v1t解得v1＝2gd由机械能守恒定律有12mv22＝12mv21＋mgd－34d得v2＝52gd.(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为R＝34d由圆周运动向心力公式，有FT－mg＝mv21R得FT＝113mg.(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有FT－mg＝mv23l得v3＝83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1有d－l＝12gt21，x＝v3t1得x＝4ld－l3当l＝d2时，x有最大值，xmax＝233d.[答案]见解析六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为m，带电量为－q的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析]小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v，轨道半径为R.由牛顿第二定律得：水平方向：qvB－FNcosθ＝mv2R竖直方向：FNsinθ－mg＝0两式联立得：mv2R－qvB＋mgcotθ＝0因为速率v为实数，故Δ≥0即(qB)2－4mRmgcotθ≥0解得：R≥4m2gcotθq2B2故最小半径为：Rmin＝4m2gcotθq2B2.[答案]4m2gcotθq2B2[学生用书P78]1.(单选)(2015·广州模拟)如图所示，船在A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4m/s，则船从A点开出的最小速度为()A．2m/sB．2.4m/sC．3m/sD．3.5m/s解析：选B.AB方向为合速度方向，由图可知，当v船⊥AB时最小，即v船＝v水·sin37°＝2.4m/s，B正确．2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为()A．α＝θB．α＝θ2C．α＝θ3D．α＝2θ解析：选B.如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点．由等时圆知识可知，由A沿斜面滑到D所用时间比由A到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D点重合即可，而∠COD＝θ，则α＝θ2.3．(原创题)如图，有几个底边长度均为L、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角α为多少时用时最短？最短时间为多少？解析：斜面长度为s＝Lcosα.物体的加速度为a＝gsinα.由s＝12at2得：t＝2Lgsinαcosα＝4Lgsin2α当α＝45°时，t最小，tmin＝2Lg.答案：45°2Lg4.一质量为m的小球在光滑的水平面上以速度v0匀速运动，从t＝0时刻开始小球受到恒力F作用，F与v0之间的夹角如图所示．求：(1)小球速度的最小值；(2)小球速度最小时的位移的大小．解析：(1)如图，将v0分解为平行于F方向的v0sinθ和垂直于F方向的v0cosθ，因小球在垂直于F方向的速度不变，当平行于F方向的分速度为0时v最小，则vmin＝v0cosθ.(2)小球从t＝0时刻到速度达到最小值的过程可看做初速度为v0cosθ的反方向的类平抛运动过程，则小球的加速度大小为a＝Fm所用时间t＝v0sinθa小球在垂直于F方向的位移为x＝v0cosθ·t平行于F方向的位移为y＝12at2故总位移为l＝x2＋y2解得l＝mv20sinθ3cos2θ＋12F.答案：见解析5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h的B点(垂足为A)，公路上有一辆以速度v1匀速行驶的汽车向A点行驶，当汽车距A点距离为L时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．解析：法一：设人以速度v2沿图示方向恰好在C点拦住汽车，用时为t.则L＋htanα＝v1t①hcosα＝v2t②整理得：v2＝hv1Lcosα＋hsinα＝hv1L2＋h2LL2＋h2cosα＋hL2＋h2sinα由数学知识知：v2min＝hv1L2＋h2.法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v1，另一分速度为v2，当v2与合速度v垂直时，v2最小，由相似三角形知识可得：v2v1＝hL2＋h2v2＝hv1L2＋h2.答案：hv1L2＋h26．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s，甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600m，如图所示．若甲车加速运动，加速度a＝2m/s2，乙车速度不变，不计车长．求：(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？(2)到达终点时甲车能否超过乙车？解析：(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v甲＋at1＝v乙，得t1＝v乙－v甲a＝60－502s＝5s甲车位移x甲＝v甲t1＋12at21＝275m乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5m＝300m此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36m.(2)甲车追上乙车时，位移关系x′甲＝x′乙＋L1甲车位移x′甲＝v甲t2＋12at22，乙车位移x′乙＝v乙t2，将x′甲、x′乙代入位移关系，得v甲t2＋12at22＝v乙t2＋L1，代入数值并整理得t22－10t2－11＝0，解得t2＝－1s(舍去)或t2＝11s，此时乙车位移x′乙＝v乙t2＝660m＞L2故到达终点时甲车不能超过乙车．答案：见解析7．(原创题)如图所示，电动势为E、内阻为r的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～Rm，且Rmr.当R为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R，则I＝ER＋rP＝I2R＝E2R＋r2·R①配方法：P＝E2R－r2R＋4r显然，当R＝r时，功率最大，Pmax＝E24r判别式法：将①式整理成关于R的二次方程PR2＋(2Pr－E2)R＋Pr2＝0由于R为实数，故Δ≥0即(2Pr－E2)2－4P2r2≥0解得：P≤E24r最大值为Pmax＝E24r，代入①式得R＝r.答案：见解析8.质量分别为M、m的斜面体A、B叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tanα)，今用水平外力F推B，使两者不发生滑动，求F的取值范围，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(已知：m＝3kg