第四章本金利息分离技术

第四章本金利息分离技术本章以贷款业务为例，介绍本金利息分离技术常用的以下两种方法：摊还法：指定期支付未清偿债务本金和利息的做法，且利息偿还优先。实质上，这是一种定期分期偿还贷款的做法。偿债基金法：指借款人为偿还债务而成立基金的做法。借款人在指定期限内，分期拨款入基金，累计起一笔足够款项以偿还未来到期的债务。本章研究的主要问题：1如何确定投资期间每个时刻的未结贷款余额2如何将投资期间的现金流分解为“本金”和“利息”两部分3不同的本金分离方法对投资收益结果分析的影响第一节摊还法一未结贷款余额的计算未结贷款余额又称：未结贷款本金、未付贷款余额、剩余贷款债务等，它指在贷款业务中，每次分期还款后，借款人未偿还的债务在当时的价值。计算方法有两种：预期法和追溯法预期法：是用所有未支付的分期付款现值之和表示每个时刻的贷款余额。适用于所有的还款额和还款时间已知的情况。追溯法：是用原始贷款额的累计值扣除所有已付款项的累计值表示每个时刻的贷款余额。适用于还款次数和还款时间未定的情况。用Bt表示第t次还款后瞬间的未结贷款余额，而且为了区别所采用的计算方法，分别用rtptBB和表示预期算法和追溯算法的结果。1每次还贷金额已知的情况：设贷款利率为i，分n次还清，每次还款1个货币单位，则：itnptaB…………………………………………（4.1.1）ittinrtsiaB)1(…………………………………（4.1.2）结论4.1若贷款分n次偿还，每次还款1个货币单位，且利率为i，则：（1）采用预期法和追溯法计算的得到未结余额是相同的，即：itnptaB=ittinrtsiaB)1(t=0,1,2,…,n;（2）未结贷款余额有如下的递推关系：1)1(1iBBttt=1,2,…,n;证明：(1)ptitntnttnittinrtBaiviiiivsiaB11)1()1(1)1((2)……2贷款金额已知的情形：设原始贷款金额为L，贷款利率为i，分n次还清。若每次的还款额为R，则有LRain即：inaLRinitnitnptaaLRaB………………………………（4.1.1）inittrtasiLB)1(…………………………………（4.1.2）例4.1某贷款的还贷方式为：前5年每半年还2000元，后5年每半年还1000元。如果半年换算的挂牌利率为10%，分别用预期法和追溯法计算第5次还贷后的贷款余额。解：（1）用预期算法：1470910002000505.01005.055vaaBp(2)用追溯法先求出原始贷款金额95.20183)(100005.01005.020aaL13.147092000)05.01(92.2018305.0555sBr例4.2某30年的贷款每年还1000元，在第15年的正常还款之后，借款人再一次多还2000元，如果将上述已还款全部用于扣除贷款余额，剩余的贷款余额再分12年等额还清（P111此处将书中的逗号改为句号）。年利率为9%，计算后12年的年还款额。解：用预期法计算第15次还款后的贷款余额为：70.8060100009.0515aBp由于同时还偿还了2000元，所以到第15年结束时，实际还贷款6060.70元。所以后12年的年还款额为38.84670.606009.012a（元）问题:对投资人来说，提前归还的2000元什么情况下合算？二摊还表1摊还法的基本原理：贷款的分期还款中利息偿还优先，即首先偿还应计利息，余下的部分作为本金偿还。具体表示为：R:从t-1时刻到t时刻时间段的还款额It：从t-1时刻到t时刻时间段所还利息量Pt：从t-1时刻到t时刻时间段本金量则有:）（）（15.1.4,,2,114.1.4,,2,11ntIRPntiBIttttttttPBRBiB11)1(t=1,2,…，n……………（4.1.16）上面的第三个等式说明贷款余额的减少只与本金Pt有关，而与利息无关。摊还表就是将还贷其间的每次还款分解为还本金和还利息所构成的表；同时，表中还列出每次还款后的未结贷款余额。见P112表4-1从表4-1我们得到以下的等式：当贷款利率为i，每次还款1个货币单位共计n次时，有：ntvItnt,,2,111…………………………（4.1.5）ntvPtnt,,2,11…………………………（4.1.6）ntPBBttt,,2,11…………………………（4.1.7）nnttnttnnttavvP1111nttnttPnI111,,2,1)1(1ntPiPtt该式说明本金量依时间顺序呈递增的等比数列，公比为1+i.tttiPII1该式说明利息量序列依时间顺序构成递减数列。以上两式说明，在等额还款方式下，前期的还款额主要用于偿还利息，后期主要偿还本金。2利息、本金和未结贷款余额的计算（1）每次还款额为R，分n次还清，则有：ntvRItnt,,2,1)1(1………………………（4.1.8）ntRvPtnt,,2,11…………………………（4.1.9）ntRaBitnt,,2,1………………………（4.1.10）（2）原始贷款额为L，分n次还清，那么每次的还款额为：inaLR，代入上面三式，得到ntvaLItnint,,2,1)1(1……………………（4.1.11）ntvaLPtnint,,2,11……………………（4.1.12）ntaaLaaLBinitnitnint,,2,1………………（4.1.13）在实际摊还表的计算中，常常采用下面这组递推公式：B0=L,It=iBt-1,Pt=R-It,Bt=Bt-1-Pt例4.3现有4年期1000元贷款，年利率为8%，逐年偿还。试给出该贷款项目的逐年摊还表。解：见P114例4.4现有1000元贷款通过每季度还款100元偿还，且已知季换算挂牌利率为16%。计算第4次还款中的利息量和本金量。解：第三次还款后的未结贷款余额为：70.812100)04.01(100004.033r3sB所以：利用下式：）（）（15.1.4,,2,114.1.4,,2,11ntIRPntiBItttt而不用4.1.8和4.1.9式。I4=0.04×812.7=32.51P4=100-32.51=67.49例：4.5甲从乙处借款10000元，双方商定以季换算挂牌利率8%分6年按季度还清。但是，在第2年底（第8次还款之后），乙将未到期的贷款权益转卖给丙，而乙、丙双方商定的季换算挂牌利率为10%。分别计算丙和乙的利息总收入。解这6年中的每次还款额为：71.5281000002.024aR（1）先计算丙的利息总收入.第2年底，当丙从乙手中将未到期的贷款权益买入时，买价为：31.690271.528025.016a而丙在后4年从甲收回的总金额为：16×R=8459.36元所以丙在后4年的总的利息收入为：8459.36-6902.31=1557.05（2）计算乙的利息收入（书中的第一种理解不合理）见课本P115乙在与甲和丙的交易中，总的收入是：8×528.71+6902.31=11131.99所以，乙的利息总收入为11131.99-10000=1131.99元例：4.6现有年利率为i的n年投资，每年底收回1个货币单位。但是，在第2年内的年收入率为j，且有ji.（该条件可不要）在以下两种情况下，计算第2年以后的年收入。（1）第3年开始的年收益率仍然为i，（2）第3年开始的年收入率保持j.解：已知inaB0，第1年底的未结贷款余额为inaB11，设所求年收入为x，则第2年底的未结贷款余额为XaBin12j1）（(1)因为，从第3年开始的年收益率仍然为i，所以inXaB22故：XaBin12j1）（inXa2所以：ininininaiXaXaXa1121)1()1(j1）（所以：ijX11（2）因为第3年开始的年收入率保持j，所以j22nXaB所以：XaBin12j1）（j2nXa所以：jnjnninajXaXaXa11j21)1()1(j1）（所以jninaaX11第二节偿债基金法所谓偿债基金法：是指借款人每期支付利息给贷款人，同时还要每期向偿债基金账户存入等额的款项，在贷款期末将原始的贷款一次还清。偿债基金法的基本原理：投资者投入资金P，以年金方式得到的定期回报为R。如果考虑以利率i计算定期的利息收益为ip,则R-iP存入了偿债基金账户。在投资结束时，收回本金。通常用i表示原贷款利率，j表示偿债基金累积利率。（注：实际中，一般很难有：ji）.则有下列偿债基金分解式：贷款总额为P,每期还款为R,其中支付的利息为iP,R-iP存入偿债基金账户，则：jnsiPRP)(所以：jnjnissRP1………………………………（4.2.1）一偿债基金的基本计算：1每次还款金额已知的情形：标准期末年金还款方式（即每次期末还款1个货币单位），共计n次，用i表示原贷款利率，j表示偿债基金累积利率，S表示每次存入偿债基金的金额，jina&表示：现金流的现值（即原始贷款总额），则：Siajin&1………………………………………（4.2.2）jinjnasS&……………………………………（4.2.3）2结论4.2下面的关系式成立（下面3个式子都很重要，一定要记住其中一个。）（1）)(111&jiasiajnjnjin（2）jnjnjinajiaa)(1&（3）jnjnjinissa1&证明：……。3结论4.3：（1）当ij时，有jininaa&（2）当ij时，有jininaa&上述结论表明：当原始贷款利率大于偿债基金累计利率时，含有偿债基金的标准期末年金的现值将会降低。也就是说，在这种情况下，偿债基金方式将会降低成本。4结论4.4：在标准期末年金还款情形，若存在利率为j的偿债基金，则每期1个货币单位还款额的利息和本金分别是：iiaIjint&jnjniss1,t=1,2,3,…,n.jnjintsaP&jnis11,t=1,2,3,…,n.证明：……。注：上面两式与时间t无关，即每期支付的利息是相同的，每期存到偿债基金上的资金是相同的。5设原始贷款额为L，分n次还清，若原始贷款利率为i，偿债基金利率为j，则（下面两式有用）：每次的还款额为：jinaLR&其中：用于支付每期的利息为：iL用于偿债基金的存款额为：S=jnsL二偿债基金方式的收益率：设偿债基金的实际收益率为r，则：jnjnjinrnajiaaa)(1&…………………………（4.2.4）上式r的近似解：)(21jiir………………………………（5.2.5）三偿债基金表：1偿债表：见：P1202在第t时刻偿还的本金：jntjnjtjtjnjtjnjttttsjsssssssBBP1111)1(113在第t时刻支付的资金总额：RPItt例4.7：乙方向甲方提供1000元的贷款，分4年还清，还贷方式为：贷款年利率为10%，甲方每年除还利息外，还要以年利率为8%累积偿债基金。同时，另有丙方也可提供相同数额的贷款，只是还贷计算方式为摊还方式。试问：丙的贷款利率为何值时，以上两种贷款对甲来说是没有差异的？解：两种方式没有区别等价于两种方式下