第四章简单桁架的弹塑性分析

1第四章简单桁架的弹塑性分析§4．1理想弹塑性材料的简单桁架图4.1图4.1（a）所示为由AB，AC，AD三杆组成的简单桁架，在结点A上受有竖向力P，各杆截面积均为A，②杆长度为l，则①③杠长度为l1=cosl。用N1、N2、N3表示诸杆内力，则平衡方程为：N1=N3。。N1cosθ+N2+N3cosθ=P，消去N3，并用截面积A通除各项，得以应力表示的平衡方程为：2σ1cosθ+σ2=AP（4—1）又由几何关系（由对称性可知结点A只有竖向位移δy而移至A点）可知δy=ε2l=2111coscosll，故有谐调方程ε1=ε2cos2θ（4—2）下面根据加载的不同阶段列出应力—应变关系，问题即可求解。当P从零开始增长时，起始是弹性阶段。（1）弹性阶段：应力—应变关系为：22211EE（4—3）代入（4—2）式得到以应力表示的谐调方程为：σ1=σ2cos2θ（4—4）联立（4—1）（4—4）解得：323132cos21coscos211APAP（4—5）当P较小时，各杆处于弹性阶段，由（4—5）式可见，②杆应力大于①③杆应力，因此当σ=σs时桁架将开始进入塑性状态。由（4—5）式可得此时对应的P值为：P=Pe=σsA(1+2cos3θ)(4—6)此Pe即为桁架能承受的最大弹性荷载，称为弹性极限荷载。于是（4—5）式可写为：2312cossesePPPP（4—5）此时对应的A点竖向位移为：δe=ε2l=Els（4—7）这里，δe表示与弹性极限荷载相对应的结点A的竖向位移。（2）P＞Pe，弹塑性阶段：这时（4—3）式中的第一式仍然成立，但第二式应换为：以（4—8）式代入（4—1）式得：cos21sAP（4—9）应当注意，这时虽然②杆屈服了，可以产生很大的变形，但由于它必须和①③杆的变形相谐调，而①③杆这时尚未屈服，所以②杆的变形受到限制。在这种情况下就说桁架处在有限制塑性变形阶段，或称为约束塑性变形阶段。随着P的进一步增大，②杆应力已不能增长，增加的外载必须由①③杆来平衡，所以①③杆的应力增长较弹性阶段快，桁架的变形增长也比弹性阶段快。当P增加到一定程度，达到σ1=σ3=σs时，三杆全部进入塑性（由于对称，①、③杆一定同时进入塑性），变形不再受约束，成为无限制塑性变形，桁架就失去进一步承载的能力，这时的荷载称为塑性极限荷载，以PT表示。在（4—1）式中以σ1=σs，σ2=σs代入得：PT=σsA(1+2cosθ)（4—10）这时结点A的位移δT只能利用几何关系由①③杆的伸长求解，而不能用②杆的伸长求解，因为这时①③杆刚达到屈服，虎克定律仍能应用，而②杆则早已屈服（当P=Pe时，②杆就已屈服），所以，当P=PT时，②杆的伸长无法由虎克定律求得。222111coscoscoscosesTlEll（4—11）比较弹性极限载荷与塑性极限载荷得3cos21cos21eTPP（4—12）当θ=30°时，eT=1.33，eTPP=1.19，θ=45°时，eT=2，eTPP=1.41。这说明考虑塑性对承载能力可以有不小的提高，而变形仍和弹性变形在同一量级。桁架的载荷—挠度曲线入图4.2中的实线所示。3（3）卸载：若加载到P*值（Ps＜P*＜PT）后卸载，卸载按弹性规律，各杆内应力变化可按（4—5）式或（4—5）式计算，若载荷变化为P，则各杆的应力变化为：212cossesePPPP，（4—13）又有：EE1122，（4—14）若将P*全部卸除，则应对加载到P*时的应力（对应（4—8）式及（4—9）式）减去P=P*的卸载应力值（即（4—13）式中P以P*代入），即得残余应力及残余应变为：0＞cos/0＞0＜10＞cos2/1coscos2/20102011*11*101*2*202*2**1*101EEEPPPPPPAPseseses（4—15）注意，②杆内残余应力为压应力，而残余应变为伸长。（4）重复加载若在卸载以后再重新加载，既然从P*卸载到零是弹性变形过程，从零再加到P*也仍是弹性过程，这是因为②杆现在是从某个压应力开始，它的弹性范围是这个压应力的绝对值加上σs，扩大了，从而使得桁架的弹性范围也扩大了（注意：桁架的塑性极限荷载在理想塑性材料的情形是不能扩大的）。如将桁架加载到PT后卸载，则以后的弹性范围可以扩大到PT。在结构内部产生某种有利的残余应力状态，可以提高它的弹性范围，这种状态称为安定状态4（shakedownstate)，在超静定结构中常加以利用。由于②杆在卸载后为压应力，于是产生了会不会进入压缩的塑性状态的问题。如果考虑随动强化的情形（即考虑Bauschinger效应），可以认为弹性范围为2σs（即认为受拉屈服到受压屈服的距离保持为2σs），则由（4—13）式中较大的2不应超过2σs可得：ssePP2*即P*≤2Pe（4—16）必须满足（4—16）式方能保证卸载后②杆不致进入受压屈服，若P*≥2Pe，，则卸载后②杆将受压屈服。若再反复加载卸载，②杆将重复经受拉伸与压缩的塑性变形，很快就会破坏。于是2Pe也是这种情形下的最大安定荷载的范围。，现在再来看一下图4.1（b）所示的桁架。平衡方程式为：QNNNNNsinsin0coscos31321（4—17）由于结构是对称的，荷载是反对称的，故知结点A只有水平位移δx而移至A点。故有几何关系，，，sin0sin321xxlll即有0231，（4—18）在弹性阶段有物理关系：EEE332211（4—19）代入（4—18）式得：0231（4—20）这时，（4—17）式第一式自然满足，第二式化为2σ1Asinθ=Q故得sin231AQ（4—21）因σ2保持为零，故此桁架在Q力作用下实际上已成为静定体系，Q继续增加时①③杆同时将同时到达拉伸及压缩屈服（在这里认为材料的拉压屈服极限相同，均为σs），以σ1=σs（或σ3=－σs）代入（4—21）式即得塑性极限荷载QT为QT=2σsAsinθ（4—22）因为此桁架巳成静定体系，故其弹性极限荷Qe与塑性极限荷载相同，即Qe=QT（4—23）这时，s31故有cossinsincossin211exll（4—24）5(一)线性强化材料随着荷载的增加，式第—·式可得：强。化材料的简单桁架设有线性强化材料，其应力一应变关系如图{．3所示应力应变关系式为，O；召9，当19[≤9．，1·、··}《4-25)，二口．十月，(1，／一事》，当口口．。J。现研究图4．1(o)所示的桁架，对弹性阶段的分析与§4．1相同，但当户户．后②杆将服从(4．25)第二式，即，9。：9，+月’(‘：一‘》。(4—26)将(4—26)式与(4—1)，(4—2)及(4·3)式的第一式联立，可以解得：，：时，杆①也进入塑性状态，以尸，表示对应的荷载，则由与理想塑性材料的塑性．极限荷载之比为：·笔‘l+詈时有2／一正一：一订—吁唬—1Soo—0603—032c一2c譬；六(中等强化的情形)，当。；．，旷，乏：l』12，当，：‘5‘，—Pr—1．041，这说明理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响并不很大。户一‘，的变化如图4．2中虚线所示。对强化材料，荷载到达尸，以后仍可继续增加。·从某个荷载户‘(尸*户．)卸载时仍按弹性规律变化考虑，可用与§4，1同样的方法求出残余应力与残余变形。(二)幂强化材料设有按幂规律强化的材料，应力应变关系为：O：B}e／sgne。口罕Dc’。‘；：(4·30)分析图4．1(o)所示的桁架。此时平衡方程(4·1)式及谐调方程‘4：2)式仍然成立，物理关系由(4·30)式对①、②杆分别写成：．，O'：Be／，l··)(4·31)、；O：：Be：。J联立求解(4·1)，(4·2)及(4—3”式，将(4—31)式改写为：(4·32)式代入谐调方程(得以应力表示的谐调方程：、··O'，O'mC09：”0●以(4—33)式代入(4叫)式，解得：户COS2“9。；O'’了—1+2’COSa．4-~0—'’／壬6(4—34)·式得弹性解(4—5)式，n’0时，由(4·34)式得塑性极限状态的Pt一————1———爿1十2cos9、’—手巾山Io+A6,·侧‘l§4，3不同加载路径对桁架应力和变形的影响考虑前述桁架，现在受竖向力户及水平力Q作用(图4．4(。))。I／／山队+词’仁。+n／n，oJ√面16歹—面弓d—／(●)‘l／c曙1d+将户和Q按不同加载路径加在桁架上，看对桁架的应力和变形产生什么影响，，。加在路径I先只加户使达到桁架塑性极限荷载P，(尸，’●●爿(1+2COS9)，见S4，1)，然后在保持结点／竖向位移^，不变的情形下，增加Q直到Q，(由§4．1可知Q，；2·．／sin0)，这时可以求出，户要从户，减小，P与Q的变化路线如图4．4(6)中折线O爿丑所示。在只有户c户，‘·，上(1+2cose)时，由54．1知杆内的应力及结点爿的竖向位移为：，，oy二6f：士。／，(4…39，这时从零开始增加Q，同时P也有相应改变(保持6，不变)，以AQ，A户表示Q和户．的改变，对应的应力，应变和位移变量分别以Ao，A，、A6表示，则有平衡方程：．为建立谐调关系，先写出位移改变量与应变改变量之间的几何关系：人上式得出谐调方程为：AeI十Ae：：2Agccos'90(4‘39)见保持^，不变，即A^，‘0'施加Q则A0。0，故由(4—38)式可得A‘：0，A，：’0，A‘(0，①②两杆仍保持塑性状态，即有·：’·，：’，，因而Aaa：Aa：’0，这时⑧杆为卸载。[(4·38)式可得：蜀o。初始值为零，增加了。上式中的A8。即是0x，上式可写为：A吒：0代入得：Aaosin6~使，，：—，．时，③杆进入压缩屈服，整个桁架进入塑性流动状态，Q不能再41)式得：再叠加上初值，得结果如下，9二户f+AP二口：且(1+2cosinocos0cos0slaocos0加载过程中结点爿世加载路恒I的位移变化如图d，4(c)中的折线0爿所示。＼，，，，，，，，：，，，，，’—宁sin8。。。。+争cose．』厂二；1+2；+2cos88·保啡加载路径Ⅱ实行比例加载，即自零开始，户、Q之间始终成比例增加，一直达到前述最终荷载P：·，月，Q；2·，爿。ia8，如图4平衡方程为：几何关系为协调方程为，弹性阶段的物理方程仍为7y9)COS94(6)中的虚直线OB所示．+e'：2C1COS：8o(4·44)，(4·45)及COS‘9十2co1十2cos002cOs89COS26+2cOs091十2cos‘8式联立解得(t●41式得了*9Q，±B4Rsh十Lx01月§女，·sR±，o。hg自力，．当，：’·，畸，由(4·47此时，对应的应力及位移为，(4·40)中，6．表示毒，二；；占。少8+2cosS81—cosiO+2cos991+cos20+·石osSO·O1+2cos：6·(14-cos'e+2cose)·式给出的值。再继续加载时，Aa，：0，由(4·37)式得：AQ1一AO'cose现在来看一下，AP加到十十么程度可以使②杆或③杆屈服。设②杆屈服，有：9'+A口：：口t，(4·49)，(4·S0)式代入，得求得设③杆屈服，求得：AP—’i；五1而(，，(4·50)式代入，i孓COsZe+2盂s‘石cOsl9+2cOsa9．·cos20+2cos30·：专(·．—1--COS：20+2c：sSOCOS26’1+cos'O+2co