第四章课后习题解答

14.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg，所以，人对传送带做功的功率为：N=fv=mgv=50×9.8×2=9.8×102（瓦）4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r1,θ1变为r2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFTFrrrrrrrTAArrTrrFArrTdrTTdrdrFA),()()(2121211221214.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：403)4()4(404022cosxdxxxTdxTdxFAJxxxdxT100)35(50|9)4(50|]9)4[(2]9)4[(]9)4[(402402/122504022/122设木块到达B时的速度为v，由动能定理：2021221mvmvAsmvmAv/88.2065.0/1002/2220，方向向右F4m3mABTxθ24.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l为)11(220mgvkkmgl证明：质点m由弹簧原长位置运动到最远位置l，弹力F和滑动摩擦力f对质点做负功，导致质点动能由mv02/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0-mv02/2……①其中，mglAklldlkAflF,2210，代入①中，并整理，有：kl2+2μmgl-mv02=0.这是一个关于l的一元二次方程，其根为：kvmkgmgml24)2(2202，负根显然不合题意，舍去，所以，)11()(22202021gmvkkgmkkgmkmvgml4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体，圆柱体又套30ºlv1在可沿水平方向移动的框架内，框架30º槽沿铅直方向，框架质量为200g.自o悬线静止于铅直位置开始，框架在水Fx平力F=20.0N作用下移至图中位置，v2求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。解：设绳长l，圆柱质量m1，框架质量m2，建立图示坐标o-xy；据题意，圆柱在o点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v1，方向与线l垂直，框架的速度为v2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v2=v1x，v1y=v1xtg30º圆柱体m1与框架m2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W1=m1g和拉力F做功：其中，AW1=-m1gl(1-cos30º)=-0.13J,AF=Flsin30º=2J,由质点系动能定理，有21221212112122221211211)(xyxFWvmvvmvmvmAA)/()(2])301([21341212212121mmAAvmtgmvFWxx代入数据,v1x2=4.3,v1y2=(v1xtg30º)2=1.44∴v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s.4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它们自由伸展的长度相差l，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x≤l和x0时弹性势能的表达式。解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零。弹簧2的势能表达式显然为：0,22212xxkEp；mmlkoxlk1k23弹簧1的势能：)(,])[(|)()()()(12121221210212101011lxlxkxklxlkxlkxldxlkdxxlkExxxp当0≤x≤l时，lxkxkEEpp121211当x0时，lxkxkkEEEppp12212121)(4.5.1滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向。已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道B点的切线方向与水平面成30º角，不计摩擦，求：⑴运动员离开B处的速率vB；⑵B、C的垂直高度差h及沟宽d；⑶运动员到达平台时的速率vc.解：运动员在整个运动过程中,只有重力做功,故机械能守恒，取B点为势能零点。∵mgH=mvB2/2∴smgHvB/1.22258.922运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc=vBcos30º=19.1m/s∵mvB2/2=mvc2/2+mgh∴h=(vB2-vc2)/2g=6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：∵0=vBsin30º-gt∴t=vB/2g=1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离d=vBcos30ºt=21.6m.4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v，弹簧原长：51.01.05.0220l，在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：2021221)(0lACOAkABmgmv，可求得：smmlACOAkABgv/28.45/)51.01.05.0(80018.92/)(2220H=25mhdvBvcA30ºABCo44.6.2m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段，机车与车厢发生完全非弹性碰撞而获得共同速度v’，由于轨道阻力远小于冲力，可认为质点v’系动量守恒，Mv=(M+m)v’,v’=Mv/(M+m)f第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s，速度由v’变为零，由动能定理，有–fs=0-(M+m)v’2/2,将v’代入，可求得)(222mMsvMf4.6.3两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e.若球A自高度h1释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。解：设两球质量均为m，球A由h1高处运动到水平位置获得的速度vA，可由能量守恒方程求出：mgh1=mvA2/2∴vA=12gh设A,B两球碰后速度分别为vA'和vB'，根据非完全弹性碰撞的基本公式，有AABBAAevvvmvmvmv''''即，''''ABABAAvvevvvv可求得，)2(2/2)1(2/)1(')1(2/2)1(2/)1('11gheevvgheevvABAA设A球弹回后的最大高度为h，根据能量守恒,21mvA'2=mgh122)1(412'hegvhA若为完全弹性碰撞，则e=1,由（1）,（2）可知：vA'=0,vB'=vA,即，碰后A球静止，B球以A球原来的速度向右运动；B球达到h1高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A球，周而复始，这种传递永远进行下去。4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg，用1m长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？解：用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，V表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为hmMh1ABx5由动量守恒：MVmvmv0，可得8.0)100500(002.0)(0vvVMm由能量守恒：MghMV221mgVh033.0)8.92/(8.02/224.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。解：框架静止时，弹簧伸长Δl=0.1m，由平衡条件mg=kΔl,求得：k=mg/Δl=0.2×9.8/0.1=19.6N/m铅块落下h=30cm后的速度v0，可由能量守恒方程求出：2021mvmghsmghv/42.23.08.9220设铅快与框架碰后的共同速度为v，由动量守恒：smvvmvmv/21.12/42.2,20210设框架下落的最大距离为x，由机械能守恒：mgxxlklkvmm2)()(221221221，进行整理并代入数据，可得x的一元二次方程：mxxx3.0,003.02.024.6.6质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率v0=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？解：整个过程可分为两个阶段v0处理。第一阶段：子弹射入m1内，发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为m0，子弹与m1获得的共同速度为v,则有m0v0=(m1+m0)v∴v=v0m0/(m1+m0)（1）第二阶段：子弹与m1以共同速度v开始压缩弹簧至m1与m2有相同的速度V,压缩结束；在此过程中，由m0,m1,m2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l.由动量守恒，有：)2()()(021000210102101mmmvmvmmmmmVVmmmvmmm0m1m2mv0vVMlhmm6由能量守恒:)3()()(22120212120121klVmmmvmm将⑴、⑵代入⑶中，可求得：mmmmmmkvml25.0)11(102101004.6.10两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动，另一车厢以2v0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为l，求：⑴货箱与车厢地板间的摩擦系数；⑵车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段是两个车对撞获得共同速度v（向左），由动量守恒：M(2v0)-Mv0=2Mv,v=v0/2第二阶段是两节车厢以速度v在摩擦力作用下与货箱发生相对移动，移动距离是l，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦力做功之和为：Af=-μmgl，对质点系应用动能定理：)4/(,))(2(0202021212021glvvMMvmgl设货箱相对车的速度为v'，显然，v'=v0+v=2v+v=3v，两边同乘摩擦力作用时间Δt，即为对应的距离，l=3d,d=l/3Mv02v0MM