第四篇三角函数解三角形第5讲两角和与差的正弦余弦和正切

第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值．2．利用三角公式考查角的变换、角的范围．【复习指导】本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为14的是()．A．2cos2π12－1B．1－2sin275°C.2tan22.5°1－tan222.5°D．sin15°cos15°解析2cos2π12－1＝cosπ6＝32；1－2sin275°＝cos150°＝－32；2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1；sin15°cos15°＝12sin30°＝14.答案D2．(2011·福建)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()．A．2B．3C．4D．6解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tana＝2×3＝6，故选D.答案D3．已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()．A．－53B．－19C.19D.53解析cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×49－1＝－19.答案B4．(2011·辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()．A．－79B．－19C.19D.79解析sin2θ＝－cosπ2＋2θ＝2sin2π4＋θ－1＝2×132－1＝－79.答案A5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝3－3tan20°·tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案3考向一三角函数式的化简【例1】►化简2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.[审题视点]切化弦，合理使用倍角公式．解原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1sin2α.解原式＝2sinα2cosα2－2sin2α22sinα2cosα2＋2sin2α24sinα2cosα2cosα＝cosα2－sinα2cosα2＋sinα2sinα2cosα2cosα＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2cosα＝cosαsinα2cosα2cosα＝tanα2.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．[审题视点]拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．解∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】已知α，β∈0，π2，sinα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．解∵α，β∈0，π2，∴－π2＜α－β＜π2，又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴1cos2α－β＝1＋tan2(α－β)＝109.cos(α－β)＝31010，sin(α－β)＝－1010.又∵sinα＝45，∴cosα＝35.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝35×31010＋45×－1010＝1010.考向三三角函数的求角问题【例3】►已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.[审题视点]由cosβ＝cos[α－(α－β)]解决．解∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∵cosα＝17，β＜α＜π2，∴sinα＝1－cos2α＝437∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0＜β＜π2.∴β＝π3.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．【训练3】已知α，β∈－π2，π2，且tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．解由根与系数的关系得：tanα＋tanβ＝－33，tanαtanβ＝4，∴tanα＜0，tanβ＜0，－π＜α＋β＜0.又tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3.∴α＋β＝－2π3.考向四三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x.(1)求fπ3的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[审题视点]先化简函数y＝f(x)，再利用三角函数的性质求解．解(1)fπ3＝2cos2π3＋sin2π3＝－1＋34＝－14.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.∵cosx∈[－1,1]，∴当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x(1)f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵－π6≤x≤π2，∴－π3≤2x≤π.∴－32≤sin2x≤1.∴f(x)的最大值为1，最小值为－32.难点突破10——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】►(2011·江苏)已知tanx＋π4＝2，则tanxtan2x的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】►(2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选)两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】►(2011·温州一模)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cosφ，0＜φ＜π2，求cosφ的值．