直线与方程的教案

直线与方程直线的倾斜角与斜率知识要点梳理知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角的范围是.当时，直线与轴平行或与轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.知识点二：直线的斜率倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．要点诠释：1.当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；2.直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.知识点三：斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由、点的坐标求的值；(2)已知及中的三个量可求第四个量；(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；(4)证明三点共线.知识点四：两直线平行设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.知识点五：两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.三、规律方法指导1．由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．2．直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方程的求解等．3．我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；4．判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；5．平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.三：经典例题透析类型一：倾斜角与斜率的关系已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；类型二：斜率定义已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率类型三：斜率公式的应用求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．类型四：两直线平行与垂直四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状直线的方程知识要点梳理知识点一：直线的点斜式方程方程由直线上一定点及斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.要点诠释：1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2．当直线的倾斜角为0°时，直线方程为；3．当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.4．表示直线去掉一个点；表示一条直线.知识点二：直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.要点诠释：1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2．斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.4．斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.知识点三：直线的两点式方程经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.要点诠释：1．这个方程由直线上两点确定；2．当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.3．()与范围不一样,后者范围小.4．直线方程的的表示与选择的顺序无关.知识点四：直线的截距式方程若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.要点诠释：1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距.知识点五：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.三、规律方法指导1．直线的确定：一条直线可以由直线上一点与直线的倾斜角确定，也可以由两个不同的点确定．根据直线不同的确定方法，从而有不同的直线方程形式与之对应．2．直线方程的几种表达方式的选取：在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．3．补充说明：(1)在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．(2)截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．(3)若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其中点为(x，y)，则x=，y=，称为中点公式，需熟练掌握．(4)某点关于各轴及任意直线的对称点的坐标的求法需熟悉；有关光线的反射问题，最终都需转化为对称问题来解决．四：经典例题透析类型一：求规定形式的直线方程(1)求经过点A(2，5)，斜率是4直线的点斜式方程；(2)求倾斜角是，在轴上的截距是5；直线的斜截式方程类型二：直线与坐标轴形成三角形问题】过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程类型三：斜率问题求过点，且与轴的交点到点的距离为5的直线方程.类型四：截距问题求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程直线的交点坐标与距离公式知识要点梳理知识点一：直线的交点：求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为.要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为.要点诠释：此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离.知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数要保持一致.三、规律方法指导应用解析思想解决问题的基本步骤：第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.第二步：进行有关的代数运算.通过各点的坐标、各图形方程之间的各种运算，求得所需结果的代数形式.通过运算可求得各个点、直线间的距离、角度、直线的斜率、截距、直线方程及两直线的交点等.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.通过计算结果说明某几何结论成立.四：经典例题透析类型一：求交点坐标判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.类型二：求两点间的距离在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M(5，8)的距离为５，并求直线PM的方程类型三：求点到直线的距离求点P(3，-2)到下列直线的距离：类型四：求两平行直线间的距离求两条平行线间的距离.一选择题（共55分，每题5分）1.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C.2D.不存在2．过点(1,3)且平行于直线032yx的直线方程为（）A．072yxB．012yxC．250xyD．052yx3.在同一直角坐标系中，表示直线yax与yxa正确的是（）xyOxyOxyOxyOABCD4．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=（）A．32B．32C．23D．235.过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线的方程是()112121112112211211211211...()()()()0.()()()()0yyxxAyyxxyyxxByyxxCyyxxxxyyDxxxxyyyy6、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（）A、K1﹤K2﹤K3B、K2﹤K1﹤K3C、K3﹤K2﹤K1D、K1﹤K3﹤K27、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为（）A、3x+2y-5=0B、2x-3y-5=0C、3x+2y+5=0D、3x-2y-5=08、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0L1L2xoL39、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=5;C.a=2,b=5;