等差数列试题

等差数列试题一、选择题1．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为()A．12B．8C．6D．4[答案]B[解析]由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8.∴m＝8.故选B.(理)(2010·温州中学)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．43D．27[答案]B[解析]由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.2．(文)(2010·山东青岛质检)已知不等式x2－2x－30的整数解构成等差数列{an}，则数列{an}的第四项为()A．3B．－1C．2D．3或－1[答案]D[解析]由x2－2x－30及x∈Z得x＝0,1,2.∴a4＝3或－1.故选D.(理)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|＝()A．1B.34C.12D.38[答案]C[解析]设x2－2x＋m＝0的根为x1，x2且x1x2，x2－2x＋n＝0的根为x3，x4且x3x4，且x1＝14，又x1＋x2＝2，∴x2＝74，又x3＋x4＝2，且x1，x3，x4，x2成等差数列，∴公差d＝13(74－14)＝12，∴x3＝34，x4＝54.∴|m－n|＝|14×74－34×54|＝12，故选C.3．(文)(2010·黄山质检)已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是()A．4B.14C．－4D．－143[答案]A[解析]∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11.∴kPQ＝a4－a34－3＝4，故选A.(理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a2010，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S2010等于()A．1005B．1010C．2008D．2010[答案]A[解析]∵A、B、C三点共线，＝a1＋a2010，∴a1＋a2010＝1，∴S2010＝2010a1＋a20102＝1005.4．在函数y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝2x＋1B．f(x)＝4x2C．f(x)＝log3xD．f(x)＝34x[答案]D[解析]对于函数f(x)＝34x上的点列(xn，yn)，有yn＝34xn，由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此yn＋1yn＝，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.[点评]根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．5．(文)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2011的值是()A．2008×2009B．2009×2010C．2010×2011D．2011×2012[答案]C[解析]解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a1＝0×1a2＝1×2a3＝2×3a4＝3×4猜想a2011＝2010×2011，故选C.解法2：an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．＝2n－1n－1＋12＝n(n－1)．∴a2011＝2010×2011.(理)(08·江西)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn[答案]A[解析]依题意得an＋1－an＝lnn＋1n，则有a2－a1＝ln21，a3－a2＝ln32，a4－a3＝ln43，…，an－an－1＝lnnn－1，叠加得an－a1＝ln21·32·43·…·nn－1＝lnn，故an＝2＋lnn，选A.6．(文)设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于()A．4B．5C．6D．7[答案]A[解析]∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，又∵a1·a2·a3＝105，∴a1a3＝21，由a1a3＝21a1＋a3＝10及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴选A.(理)设{an}为等差数列，若a11a10－1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取最小正值时，n等于()A．11B．17C．20D．21[答案]C[解析]∵{an}的前n项和Sn有最小值，∴a10，d0.又∵a11a10－1，∴a100，a110，|a11||a10|.于是，S20＝20a1＋a202＝10(a10＋a11)0，S19＝19a1＋a192＝19a100，∴n＝20满足题意．故选C.7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若点O(0,0)，A(l，Sl)，B(m，Sm)，C(p，Sp)(其中lmp)，且向量与共线，则l，m，p之间的关系是()A．m＝p＋lB．2m＝p＋lC．2p＝m＋lD．p＝m＋l[答案]D[解析]依题意得＝(m－l，Sm－Sl)，＝(p，Sp)，因为于与共线，所以有(m－l)Sp＝p(Sm－Sl)，再设等差数列{an}的公差为d，代入整理可得p＝m＋l，故选D.[点评]可取特殊等差数列验证求解，如取an＝n.8．(文)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于()A．120B．105C．90D．75[答案]B[解析]∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3(a2＋10d)＝105.(理)(09·宁夏、海南)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，则m＝()A．38B．20C．10D．9[答案]C[解析]∵am－1＋am＋1－am2＝0，∴2am－am2＝0，∴am＝0或am＝2.又∵S2m－1＝38，∴2m－1a1＋a2m－12＝38，(2m－1)·am＝38，∴am＝2，∴2(2m－1)＝38，∴2m－1＝19，∴m＝10.9．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2010，其前n项的和为Sn.若S20092009－S20072007＝2，则S2010＝()A．－2010B．－2008C．2009D．2010[答案]A[解析]∵S20092009－S20072007＝2，∴(a1＋1004d)－(a1＋1003d)＝2，∴d＝2，∴S2010＝2010a1＋2010×20092d＝－2010.10．(文)(2010·北京顺义一中)一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是()A．i4?B．i5?C．i≥5?D．i6?[答案]D[解析]由题意知S＝11×2＋12×3＋…＋1ii＋1＝1－12＋12－13＋…＋1i－1i＋1＝ii＋1，故要输出S＝56，i＝5时再循环一次，故条件为i≤5或i6，故选D.(理)(2010·山东济南)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－1an，记数列{an}的前n项之积为Πn，则Π2010的值为()A．－12B．－1C.12D．1[答案]D[解析]∵an＋2＝1－1an＋1＝1－11－1an＝1－anan－1＝11－an，an＋3＝1－1an＋2＝1－111－an＝1－(1－an)＝an，∴{an}是周期为3的周期数列，又a1＝2，a2＝1－12＝12，a3＝11－a1＝－1，从而Π3＝－1，∴Π2010＝(－1)670＝1，故选D.二、填空题11．(2010·金华十校)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝________.[答案]320[解析]由log2an＋1＝1＋log2an得，an＋1an＝2，∴{an}是等比数列，∴a8＝a3×25＝320.12．(文)(08·江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415………………按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．[答案]n22－n2＋3(n≥3)[解析]该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为n－11＋n－12＝n22－n2，则第n行从左至右的第3个数为n22－n2＋3(n≥3)．(理)已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(21,12)＝________.a1a2a3a4a5a6a7a8a9…………………………[答案]412[解析]由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故前n行有Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2个数，因此前20行共有S20＝400个数，故第21行的第一个数为401，第12个数为412，即A(21,12)＝412.13．(文)在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，则Sn的最大值为________．[答案]169[分析]利用前n项和公式和二次函数性质求解．[解析]方法1：由S17＝S9，得25×17＋172(17－1)d＝25×9＋92(9－1)d，解得d＝－2，∴Sn＝25n＋n2(n－1)·(－2)＝－(n－13)2＋169，∴由二次函数性质，当n＝13时，Sn有最大值169.方法2：先求出d＝－2，∵a1＝250，由an＝25－2n－1≥0an＋1＝25－2n≤0，得n≤1312n≥1212，∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法3：由S17＝S9得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－20，a10，∴a130，a140，故n＝13时，Sn有最大值．方法4：由d＝－2得Sn的图象如图所示(图象上一些孤立点)，由S17＝S9知图象对称轴为n＝9＋172＝13，∴当n＝13时，Sn取得最大值169.(理)(09·上海)已知函数f(x)＝sinx＋tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈－π2，π2，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0.[答案]14[解析]∵f(x)＝sinx＋tanx为奇函数，且在x＝0处有定义，∴f(0)＝0.∵{an}为等差数列且d≠0，∴an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧，∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴f(a14)＝0.∴k＝14.14．(文)将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224…………2826那么2010应该在第________行第________列．[答案]252,4[解析]通项an＝2n，故2010为第1005项，∵1005＝4×251＋1，又251为奇数，因此2010应排在第252行，且第252行从右向左排第一个数，即252行第4列．(理)已知数列{an}：12，13＋2