等比数列一轮复习导学案

1等比数列考纲要求1．了解等比数列与指数函数的关系．2．理解等比数列的概念．3．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能运用有关知识解决问题．[来源:Z&xx&k.Com]知识梳理1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示，等比数列的通项公式为an＝____________.2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且G＝__________.显然，只有同号的两个数才有等比中项．3．对于等比数列{an}，当公比q≠1时，若已知首项a1和项数n，求其前n项和时，可用公式Sn＝______________进行求和；若已知首项a1和末项an，求其前n项和时，可用公式Sn＝______________进行求和．当公比q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，此时Sn＝________.4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·__________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为_______．基础自测1．(2012江苏苏州高三第一次期末考试)在等比数列{an}中，若a3a5a7＝－8，则a2a8＝__________.2．在数列{an}与{bn}中，a1＝2,4an＋1－an＝0(n∈N*)，bn是an与an＋1的等比中项，则{bn}的通项公式为_____．3．.(2013·盐城三调)在等比数列{an}中，若a2＝－2，a6＝－32，则a4＝________.4．(2012江苏徐州高三质检)在等比数列{an}中，a1＋a2＝12，a3＋a4＝1，则a7＋a8＋a9＋a10的值为___．5．(2012浙江高考)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝____.基础自测1．4；2.14n－1或－14n－1；3．－8；4．12；5.解析：由已知S4－S2＝3a4－3a2，即a4＋a3＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，两边同除以a2得，2q2－q－3＝0，即q＝32或q＝－1(舍)．思维拓展：1．判断数列为等比数列有哪些方法？提示：(1)定义法：an＋1an＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用anan－1＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．(2)等比中项公式法：a2n＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．2．解决与等比数列有关问题的常见思想方法有哪些？提示：(1)函数思想：在等比数列{an}中，an＝a1q·qn，它的各项是函数y＝a1q·qx图象上的一群孤立的点．(2)方程思想：准确分析a1，q，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”．(3)分类讨论思想：无论是等比数列的前n项和公式的给出，还是等比数列单调性的划分都体现了分类讨论思想的具体运用．(4)类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．(5)整体思想：等比数列{an}的前n项和公式Sn＝a1－anq1－q＝a11－q－a11－q·qn(q≠1)，常把a11－q视为一个整体，其前n项和公式可写成Sn＝k－kqn，k＝a11－q(q≠1)的形式，这对于解答填空题是很有帮助的．探究突破【探究突破一】等比数列的判断与证明【例1】(2012湖北黄冈期末)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝32Sn＋1(n∈N*)，(1)求证：数列{an}是等比数列，并求此数列的通项公式；2(2)设数列1an的前n项和为Tn，求满足不等式Tn＜12Sn＋2的n值．解：由Sn＋1＝32Sn＋1，得当n≥2时，Sn＝32Sn－1＋1，∴Sn＋1－Sn＝32(Sn－Sn－1)，即an＋1＝32an.∴an＋1an＝32(n≥2)．又a1＝1，得S2＝32a1＋1＝a1＋a2，∴a2＝32.∴a2a1＝32.∴数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，即an＝32n－1.(2)∵数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，∴数列1an是首项为1，公比为23的等比数列．∴Tn＝1－()23n1－23＝31－23n.又∵Sn＝2·32n－2，∴不等式Tn＜12Sn＋2可化为32n＜3.∴n＝1或n＝2.【方法提炼】证明一个数列是等比数列，通常要找出这个数列相邻两项或几项的关系，再结合等比数列定义或等比中项的概念证明．【针对训练1】(2012江苏南京十二中月考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．(1)设bn＝an＋1，求证：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：bn＋1bn＝an＋1＋1an＋1＝2an＋1＋1an＋1＝2(n∈N*)，[来源:学&科&网Z&X&X&∴bn＋1bn＝2.∴{bn}是等比数列．又b1＝a1＋1＝2，∴bn＝b1·2n－1＝2n.(2)解：由(1)得bn＝2n，∴2n＝an＋1，∴an＝2n－1.【探究突破二】等比数列基本量的运算【例2】已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得a1＋d＝2，a1＋4d＝8，∴a1＝0，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.[来源:学科网ZXXK](2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.∴{bn}的前n项和Tn＝b11－qn1－q＝1×1－2n1－2＝2n－1.【方法提炼】[来]源:等比数列的基本量是首项a1和公比q，建立关于它们的方程可确定等比数列，这也是方程思想的具体体现．【针对训练3】(2012辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝__________.解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q，则a21·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，因为数列{an}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，an＝2n.【探究突破三】等比数列性质的应用【例3】在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2，求数列{an}的通项公式．解：因为a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，所以a23＋2a3a5＋a25＝25.又an＞0，所以a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，所以a3a5＝4.而q∈(0,1)，所以a3＞a5.所以a3＝4，a5＝1，q＝12，a1＝16.所以an＝16×12n－1＝25－n.【方法提炼】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．【针对训练3】(2012江苏南京盐城一模)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝__________.解析：∵am－1·am＋1－2am＝0，∴a2m－2am＝0.∴am＝2或am＝0(舍)．T2m－1＝a1·a2·a3·…·a2m－1＝a2m－1m＝22m－1＝128，∴m＝4.【探究突破四】等比数列的综合应用【例4】(2012江苏无锡洛社中学月考)已知数列{an}的首项a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，n＝1,2，….3(1)求证：数列1an－1为等比数列．[来源:学,科,网](2)记Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an，若Sn＜100，求最大正整数n.(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：由an＋1＝3an2an＋1，得1an＋1＝23＋13an，∴1an＋1－1＝13an－13＝131an－1，且∵1a1－1≠0，∴1an－1≠0(n∈N*)，∴数列1an－1为等比数列．(2)由(1)可求得1an－1＝23×13n－1，∴1an＝2×13n＋1.Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an＝n＋213＋132＋…＋13n＝n＋2·13－13n＋11－13＝n＋1－13n，若Sn＜100，则n＋1－13n＜100，∴nmax＝99.(3)假设存在，则m＋n＝2s，(am－1)·(an－1)＝(as－1)2，∵an＝3n3n＋2，∴3n3n＋2－1·3m3m＋2－1＝3s3s＋2－12.化简得3m＋3n＝2×3s，∵3m＋3n≥2·3m＋n＝2×3s，当且仅当m＝n时等号成立．又m，n，s互不相等，∴不存在互不相等的正整数m，s，n.【方法提炼】等比数列的综合应用主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等比数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查，常与函数、不等式、解析几何等内容相结合．【针对训练4】(2012江苏南通高三第一次调研)已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3.(1)求a的值．(2)若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，求b的值．(3)令Cn＝an＋1＋bn，问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得an＝a＋(n－1)b，bn＝b·an－1.由a1＜b1，b2＜a3，得a＜b，ab＜a＋2b.因a，b都是大于1的正整数，故a≥2.又b＞a，故b≥3.再由ab＜a＋2b，得(a－2)b＜a.由b＞a，故(a－2)b＜b，即(a－3)b＜0.由b≥3，故a－3＜0，解得a＜3.于是2≤a＜3.根据a∈N*，可得a＝2.(2)由a＝2，对于任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得b(m－1)＋5＝b·2n－1，则b(2n－1－m＋1)＝5.又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数．故2n－1－m＋1＝1，b＝5.所以b＝5时，存在正自然数m＝2n－1满足题意．(3)设数列{Cn}中，Cn，Cn＋1，Cn＋2成等比数列，由Cn＝2＋nb＋b·2n－1，(Cn＋1)2＝Cn·Cn＋2，得(2＋nb＋b＋b·2n)2＝(2＋nb＋b·2n－1)(2＋nb＋2b＋b·2n＋1)．化简，得b＝2n＋(n－2)·b·2n－1.(*)当n＝1时，b＝1，等式(*)成立，而b≥3，不成立，当n＝2时，b＝4，等式(*)成立．当n≥3时，b＝2n＋(n－2)·b·2n－1＞(n－2)·b·2n－1≥4b，这与b≥3矛盾．这时等式(*)不成立．