【举一反三】四年级奥数-第6讲-巧妙求和(一)

小学四年级举一反三认识一个老朋友你还记得什么是数列吗？对于数列你知道些什么？能举个数列的例子吗？名称含义数列按照一定顺序排列的一串数叫做数列项数列中的每一个数称为一项。其中，第一项称为首项，最后一项称为末项。项数数列中数的个数称为项数3，7，11，15，19，23，27，31。2，4，6，8，10，……40。首项是？末项是？项数是？——数列名称含义等差数列从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列公差后项与前项的差称为公差2，5，8，11，14，17，20请你写一个等差数列首项是？末项是？项数是？公差是？——等差数列3，6，9，12，……，93，96首项是____，末项是____，公差是____，项数是____，第21项是_____，总和是_______。3963公式②：第n项=首项+（项数－1）×公差第21项=3+（21－1）×3=63公式①：项数=（末项－首项）÷公差＋1项数=（96－3）÷3＋1=3232公式③：总和=（首项＋末项）×项数÷2总和=（3+96）×32÷2=1584631584——重要公式名称含义项数公式项数=（末项－首项）÷公差＋1通项公式第n项=首项+（项数－1）×公差求和公式总和=（首项＋末项）×项数÷2【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，要求项数首项是4，末项是52，公差是6项数=（末项－首项）÷公差＋1=（52－4）÷6＋1=9（项）即这个数列共有9项。写出首项、末项、公差写明公式将数据带入公式算出结果答题格式【举一反三1】（1）有一个等差数列：2，5，8，11，…，101.这个等差数列共有多少项？首项是2，末项是101，公差是3项数=（末项－首项）÷公差＋1=（101－2）÷3＋1=34（项）即这个数列共有34项。【例题2】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，求第100项。首项是3，公差是4，项数是100。根据“第n项＝首项＋（项数－1）×公差”，第100项＝3＋（100－1）×4＝399【举一反三2】（1）求1，4，7，10，……这个等差数列的第30项。首项是1，公差是3，项数是30。根据“第n项＝首项＋（项数－1）×公差”，第30项＝1＋（30－1）×3＝88【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则：1＋2＋3＋…＋99＋100＋100＋99＋98＋…＋2＋1＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(99＋2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101。一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。【举一反三3】计算下面各题。（1）1+2+3+…+49+50＝（1+50）×50÷2＝1275【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。总和=（首项+末项）×项数÷2首项是2，末项是50，公差是2，项数是？要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。首项=2，末项=50，项数=25总和＝（首项+末项）×项数÷2＝（2+50）×25÷2＝650【举一反三4】计算下面各题。（1）5+10+15+20+…+195+200总和＝（首项+末项）×项数÷2＝（5+200）×40÷2＝4100首项是5，末项是200，公差是5，项数＝（末项－首项）÷公差+1＝（200－5）÷5+1＝40【例题5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？【思路导航】第8项比第6项多2个公差，第6项比第4项多2个公差，所以33－21＝12相当于2个公差。第8项等于第6项的数33加上2个公差。第8项是33＋（33－21）＝45。【综合练习】1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001。这个等差数列共有多少项？首项是11，末项是1001，公差是5项数=（末项－首项）÷公差＋1=（1001－11）÷5＋1=199（项）即这个数列共有199项。2、已知等差数列的首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？项数＝（末项－首项）÷公差＋1总和＝（首项+末项）×项数÷2？3、求9+18+27+36+…+261+270的和。总和＝（首项+末项）×项数÷2＝（9+270）×30÷2＝4185首项是9，末项是270，公差是9，项数＝（末项－首项）÷公差+1＝（270－9）÷9+1＝304、如果一个等差数列的5项为19，第8项为61，那么它的第11项是多少？第8项比第5项多3个公差，第11项比第8项多3个公差，所以61－19＝42相当于3个公差。第11项等于第8项的数61加上3个公差。第11项是61＋（61－19）＝103。