算法、框图、复数、推理与证明测试题及详解

高考总复习含详解答案算法、框图、复数、推理与证明第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数z＝1＋2ii5，则它的共轭复数z－等于()A．2－iB．2＋iC．－2＋iD．－2－i[答案]B[解析]z＝1＋2ii5＝1＋2ii＝2－i，故其共轭复数是2＋i.2．(文)(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是()A．1320B．132C．11880D．121[答案]A[解析]运行过程依次为：i＝12，x＝1→x＝12，i＝11→x＝132，i＝10→x＝1320，i＝9，此时不满足i≥10，输出x的值1320.(理)(2011·江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A．k＝9B．k≤8C．k8D．k8[答案]D[解析]运行过程依次为k＝10，S＝1→S＝11，k＝9→S＝20，k＝8→输出S＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k8.高考总复习含详解答案3．(文)(2011·黄冈市期末)若复数a＋3i1＋2i(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．－2B．4C．－6D．6[答案]C[解析]∵a＋3i1＋2i＝a＋3i1－2i1＋2i1－2i＝a＋6＋3－2ai5是纯虚数，a∈R，∴a＋6＝03－2a≠0，∴a＝－6，故选C.(理)(2011·温州八校期末)若i为虚数单位，已知a＋bi＝2＋i1－i(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为()A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不能确定[答案]A[解析]∵a＋bi＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2＝12＋32i(a，b∈R)，∴a＝12b＝32，∵122＋322＝522，∴点P12，32在圆x2＋y2＝2外，故选A.4．(文)(2011·合肥市质检)如图所示，输出的n为()A．10B．11C．12D．13[答案]D[解析]程序依次运行过程为：n＝0，S＝0→n＝1，S＝12×1－13＝－111→n＝2，S＝高考总复习含详解答案12×2－13＝－19，……∴S＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋1130，此时输出n的值13.(理)(2011·丰台区期末)已知程序框图如图所示，将输出的a的值依次记为a1，a2，…，an，其中n∈N*且n≤2010.那么数列{an}的通项公式为()A．an＝2·3n－1B．an＝3n－1C．an＝3n－1D．an＝12(3n2＋n)[答案]A[解析]程序运行过程依次为a＝2，n＝1，输出a＝2，即a1＝2，n＝2，a＝3×2＝6，不满足n2010→输出a＝6，即a2＝2×3，n＝3，a＝3×6＝18，仍不满足n2010→输出a＝18，即a3＝2×32……因此可知数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1(n≤2010)．5．(2011·蚌埠二中质检)下列命题错误的是()A．对于等比数列{an}而言，若m＋n＝k＋S，m、n、k、S∈N*，则有am·an＝ak·aSB．点－π8，0为函数f(x)＝tan2x＋π4的一个对称中心C．若|a|＝1，|b|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则b在向量a上的投影为1D．“sinα＝sinβ”的充要条件是“α＋β＝(2k＋1)π或α－β＝2kπ(k∈Z)”[答案]C[解析]由等比数列通项公式知，am·an＝a21qm＋n－2＝a21qk＋S－2＝a1qk－1·a1qS－1＝akaS，故A正确；令2x＋π4＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ2－π8，令k＝0得x＝－π8，∴－π8，0是函数f(x)＝tan2x＋π4的一个对称中心，故B正确；b在a方向上的投影为|b|·cos〈a，b〉＝2×cos120°＝－1，故C错；由sinα＝sinβ得α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β，∴α＋β＝(2k＋1)π或α－β＝2kπ(k∈Z)，高考总复习含详解答案故D正确．6．(2011·安徽百校联考)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am、an，使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D．不存在[答案]A[解析]∵{an}为等比数列，an0，a7＝a6＋2a5，∴a1q6＝a1q5＋2a1q4，∴q2－q－2＝0，∴q＝－1或2，∵an0，∴q＝2，∵am·an＝4a1，∴a1qm－1·a1qn－1＝16a21，∴qm＋n－2＝16，即2m＋n－2＝24，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥32，等号在nm＝4mn，即m＝2，n＝4时成立，故选A.7．(2011·山东日照调研)二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a0B．a0C．a1D．a－1[答案]D[解析]∵方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，∴a0f00或a0f00，∴a0，因此，当a－1时，方程有一个正根和一个负根，仅当方程有一个正根和一个负根时，不一定有a－1，故选D.8．观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝34B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝34C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34[答案]A[解析]观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题高考总复习含详解答案应具备此关系，但A中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.9．(2011·山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)＝x1＋|x|(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f(x)的值域为(－1,1)；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；丙：若规定f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，则fn(x)＝x1＋n|x|对任意n∈N*恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有()A．3个B．2个C．1个D．0个[答案]A[解析]当x0时，f(x)＝x1＋x∈(0,1)，当x＝0时，f(0)＝0，当x0时，f(x)＝x1－x∈(－1,0)，∴f(x)的值域为(－1,1)，且f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，因此，x1≠x2时，一定有f(x1)≠f(x2)．∵f(x)＝x1＋|x|，f1(x)＝f(x)，∴f1(x)＝x1＋|x|，又fn(x)＝f(fn－1(x))，∴f2(x)＝f(f1(x))＝fx1＋|x|＝x1＋|x|1＋|x|1＋|x|＝x1＋2|x|，f3(x)＝f(f2(x))＝fx1＋2|x|＝x1＋2|x|1＋|x|1＋2|x|＝x1＋3|x|……可知对任意n∈N*，fn(x)＝x1＋n|x|恒成立，故选A.10．(2011·陕西宝鸡质检)如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M(x)恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函数，下面四个函数：①f(x)＝1;②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x;④f(x)＝xx2＋x＋1.其中属于有界泛函数的是()A．①②B．①③C．②④D．③④[答案]D[解析]对任意实数x.∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，∴存在常数M≥2，有|sinx＋高考总复习含详解答案cosx|≤M成立，∴|x(sinx＋cosx)|≤M|x|，即|f(x)|≤M|x|成立，∴③是有界泛函数；又∵x2＋x＋1＝x＋122＋34≥34，∴1x2＋x＋1≤43，∴存在常数M≥43，使|x||x2＋x＋1|≤M(x)，即|f(x)|≤M|x|成立，故④是有界泛函数，因此选D.11．(2011·北京学普教育中心联考版)观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…用你所发现的规律得出22011的末位数字是()A．2B．4C．6D．8[答案]D[解析]观察发现，2n的末位数字以4为周期出现，依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3，故22011的末位数字与23的末位数字相同，故选D.12．(2011·河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为()11121213161314112112141512013012015A.11260B.1840C.1504D.1360[答案]B[解析]第10行第1个数为110，第2个数为19－110＝190，第9行第1个数为19，第2个数为18－19＝172，∴第10行第3个数为172－190＝1360，第8行第1个数为18，第2个数为17－18＝高考总复习含详解答案156，故第9行第3个数为156－172＝1252，∴第10行第4个数为1252－1360＝1840.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(文)(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.类比上述结论，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1，你能得到的结论为________．[答案]a1＋a2＋…＋an≤n(n∈N*)[解析]构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，∵f(x)≥0对任意实数x都成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1＋a2＋…＋an≤n.(理)(2011·北京学普教育中心)我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．[答案]6a3[解析]在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高；正三角形的边类比空间正四面体的面，正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a3.14．(2011·湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z1＝(1－2i)i对应向量为a，z2＝1－3i1－i对应向量为b，那么a与b的数量积等于________．[答案]3[解析]z1＝2＋i对应向量a＝(2,1)，z2＝1－3i1－i＝1－3i1＋i2＝2－i对应向量b＝(2，－1)，∴a·b＝3.15．(2011·辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，下列函数：①f(x)＝sinx；②f(x)＝3π(x－1)2＋2；③f(x)＝14x；④f(x)＝lo