算法经典例题及答案

-1-算法专题训练1、设计一个程序框图，使之能判断任意输入的整数x是奇数还是偶数．[解析]程序框图如下．2、已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，设计一个算法，判断方程是否有实数根．写出算法步骤，并画出程序框图．[分析]根据ω＝Δ＝b2－4ac的符号来判断，因此要用条件结构．[解析]算法如下：第一步，输入a，b，c.第二步，计算ω＝b2－4ac.第三步，判断ω≥0是否成立，若成立，输出方程有实数根；若不成立，输出方程无实数根．程序框图如下：3、根据y＝－11x，0x＝，4x，设计算法并画出程序框图，求输入x的值，输出y的值．[解析]算法如下：第一步：输入x.第二步：如果x10，那么y＝－11；如果x＝10，那么y＝0；如果x10，那么y＝4；第三步：输出y值．[注意]使用条件结构，有两种可能则用一个判断框，有三种可能结果则用两个判断框，依此类推．-2-程序框图如下：4、如图所示是某函数f(x)给出x的值时，求相应函数值y的程序框图．(1)写出函数f(x)的解析式；(2)若输入的x取x1和x2(|x1||x2|)时，输出的y值相同，试简要分析x1与x2的取值范围．[解析](1)由程序框图知该程序框图执行的功能是求函数f(x)＝|x2－1|的值，故f(x)的解析式为f(x)＝|x2－1|.(2)画出f(x)＝|x2－1|的草图如下图．由图象的对称性知：要使f(x1)＝f(x2)且|x1||x2|，需－1x11，同时2≥x21或－2≤x2－1，∴x1的取值范围是{x|－1x1}，x2的取值范围是{x|1x≤2或－2≤x－1}．5、设计一个算法，找出区间[1,1000]内的能被7整除的整数，画出程序框图．[解析]第一步，取k＝1.第二步，判断k≤1000是否成立，若不成立，则执行第五步．第三步，若k除以7的余数为0，则输出k.第四步，将k的值增加1，返回执行第二步．第五步，结束．程序框图如图．-3-6、画出求满足12＋22＋32＋…＋n2106的最小正整数n的程序框图．[解析]程序框图如下：7、国家法定工作日内，每周工作时间满工作量为40小时，每小时工资8元；如需要加班，则加班时间每小时工资为10元．某人在一周内工作时间为x小时，个人住房公积金、失业险等合计为10%.试画出其净得工资y元的算法的程序框图．(注：满工作量外的工作时间为加班)[解析]由题意知，当0x≤40时，y＝8x(1－10%)＝7.2x，当x40时，y＝[40×8＋(x－40)×10]×(1－10%)＝9x－72，∴y＝7.2xx9x－72x此函数为分段函数，故用条件结构表达，条件为x40，程序框图为：-4-8、相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋的发明者)，问他需要什么，达依尔说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一格子上放一粒麦子，第二个格子上放两粒，第三个格子上放四粒，以后按此比例每一格加一倍，一直放到第64格(国际象棋8×8＝64格)，我就感恩不尽，其他什么也不要了．”国王想：“这有多少，还不容易！”让人扛来一袋小麦，但不到一会儿就全用没了，再扛来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食用完还不够，国王很奇怪．一个国际象棋棋盘能放多少粒小麦，试用程序框图表示其算法．[分析]根据题目可知：第一个格放1粒＝20，第二个格放2粒＝21，第三个格放4粒＝22，第四个格放8粒＝23，…，第六十四格放263粒．则此题就转化为求1＋21＋22＋23＋24＋…＋263的和的问题．我们可引入一个累加变量S，一个计数变量i，累加64次就能算出一共有多少粒小麦．[解析]一个国际象棋棋盘一共能放1＋21＋22＋23＋24＋…＋263粒小麦．程序框图如图所示．9、(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数．(2)用更相减损术求459与357的最大公约数．[解析](1)1746＝840×2＋84840＝84×10＋0所以840与1764的最大公约数为84.(2)459－357＝102357－102＝255255－102＝153153－102＝51102－51＝51所以459与357的最大公约数为51.10、用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2当x＝－2时的值．[解析]∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋0·x3＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2∴当x＝－2时，v0＝1v1＝－2－5＝－7v2＝－7×(－2)＋6＝20v3＝20×(－2)＋0＝－40v4＝－40×(－2)＋1＝81v5＝81×(－2)＋0.3＝－161.7v6＝－161.7×(－2)＋2＝325.4∴f(－2)＝325.4.11、有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343g,133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？[解析]每个小瓶的溶液的质量应是三种溶液质量147,343,133的公约数，最大质量即是其最大公约数．先求147与343的最大公约数：343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98.98－49＝49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133－49＝84，84－39＝35，49－35＝14，35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7，所以49与133的最大公约数为7，所以147,343,133的最大公约数为7.即每瓶最多装7g溶液．-5-12、已知175(8)＝120＋r，求正整数r.[解析]∵175(8)＝1×82＋7×81＋5×80＝125，∴125＝120＋r.∴r＝5，即所求正整数r为5.13、已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数．[解析]由题意得36＝4×k1＋4×k0，则k＝8.故67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.14、把八进制数2011(8)化为五进制数．[分析]八进制数→十进制数→五进制数[解析]2011(8)＝2×83＋0×82＋1×81＋1×80＝1024＋0＋8＋1＝1033.∴2011(8)＝13113(5)．[点评]把一个非十进制数转化为另一个非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后把十进制数再转化为另一个非十进制数．15、若10y1(2)＝x02(3)，求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．[分析]由二进制及三进制可知，y∈{0,1}，x∈{1,2}，将二进制数和三进制数都转化为十进制数，再由两数相等及x、y的取值范围可得出x、y的值．[解析]∵10y1(2)＝x02(3)，∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，将上式整理得9x－2y＝7，由进位制的性质知，[来源:学+科+网Z+X+X+K]x∈{1,2}，y∈{0,1}，当y＝0时，x＝79(舍)，当y＝1时，x＝1.∴x＝y＝1，已知数为102(3)＝1011(2)，与它们相等的十进制数为1×32＋0×3＋2＝11.