矩阵分析试卷

《矩阵分析》试题(A卷)一、计算题(每题10分,共40分)1.设函数矩阵001te-sinttecostA(t)t2t试求)tA(tdd;)tA(lim0t.2.设矩阵441-0A试求Ae.3.将下面矩阵作QR分解:110011-111.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形1-1-2-020021。二、证明题（每题10分，共30分）1.设321,,是三维V线性空间V的一组基,试求由向量2133212321183232-.生成的子空间),,(U321的一个基.2.设V1,V2是内积空间V的两个子空间,证明:2121VVVV.3.设T是线性空间V的线性变换,V,且)(T,),(T),T(,1-k2均为不为零的向量,而0)(Tk,证明)(T,),(T),T(,1-k2线性无关.三、简单论述题(每题15分,共30分)1.试述:将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种?那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵?那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵?此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么?实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?2.实空间的角度是如何引入的?复空间中的角度又是怎样定义的?试给出主要的过程.《矩阵分析》试题(B卷)一、计算题(每题10分,共40分)1.设函数矩阵003t02ee1eteA(t)t2t-tt2试求td)tA(10.2.设矩阵12-10A试求Ae.3.将下面矩阵作QR分解:011-1-3241-1.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形1213214321.二、证明题（每题10分，共30分）1.设321,,是三维V线性空间V的一组基,试求由向量2133212321113423232-.生成的子空间),,(U321的一个基.2.设V1,V2是内积空间V的两个子空间,证明:2121VVVV.3.设T是线性空间V的线性变换,V,且)(T,),(T),T(,1-k2均为不为零的向量,而0)(Tk,证明)(T,),(T),T(,1-k2线性无关.三、简单论述题(每题15分,共30分)1.试述:将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种?那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵?那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵?此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么?实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?2.实空间的角度是如何引入的?复空间中的角度又是怎样定义的?给出主要的过程.硕士研究生《矩阵分析》试题(A卷)一、计算题(每题10分,共40分)1.设函数矩阵001te-sinttecostA(t)t2t试求t)dtA(10;)tA(lim0t.2.设矩阵441-0A试求sinA.3.将下面矩阵作QR分解:11002-1-011.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形1-1-2-010012。二、证明题（每题10分，共30分）1.设321,,是三维V线性空间V的一组基,试求由向量2133212321122-.生成的子空间),,(U321的一个基.2.设T是复内积空间V的线性变换，n21e,e,e是它的一组标准正交基，证明)T(e),T(e),T(en21也是它的一组标准正交基3.设T是线性空间V的线性变换,V,且)(T,),(T),T(,1-k2均为不为零的向量,而0)(Tk,证明)(T,),(T),T(,1-k2线性无关.三、简单论述题(每题15分,共30分)1.试述:一个矩阵可以化成的最一般的标准型是什么样子的?什么时候一定可以化成对角型?都有什么方法?支持其所用的数学基础或者工具是什么?2.矩阵的广义逆和过去我们熟知的逆之间有什么联系和差别?能给出造成这些差别的原因吗?给出一个矩阵的广义逆应用的是例(最好是与本专业相关的).硕士研究生《矩阵分析》试题(B卷)一、计算题(每题10分,共40分)1.设函数矩阵tt2t-2t2t03t02eetarctanet)t1ln(tA(t)试求)tA(dtd.2.设矩阵11-2010012A试求cosA.3.将下面矩阵作QR分解及谱分解:1-11-032-01-1.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形4321321021001000.二、证明题（每题10分，共30分）1.设321,,是三维V线性空间V的一组基,试求由向量2133212321113423232-.生成的子空间),,(U321的一个基.2.设T是复内积空间V的线性变换，写出该空间上的极化恒等式,并在已知(T(),T())=(,)的前提下,证明:(T(),T())=(,)3.等价的-阵有相同的各阶行列式因子三、简单论述题(共30分)1.试述:实现实系数和复系数多项式因式分解会遇到那些逻辑上的基本问题?这些问题又是怎么样被解决的(给出主要的步骤)?（10分）。2.矩阵的广义逆都讲述了一些什么内容?各自有什么特点?矩阵的广义逆和过去我们熟知的矩阵的逆之间有什么联系和差别?试分析造成这些差别的原因.给出一个与本专业相关的矩阵的广义逆的应用实例(20分).硕士研究生《矩阵分析》试题(A卷)一、计算题(每题8分,共40分)1.设函数矩阵0011)ln(tte-sintcostt11etcosA(t)t2t2试求t)dtA(10;)tA(lim0t.2.设矩阵21-0021-001A试求sinA.3.将下面矩阵作奇异值分解和QR分解:11002-1-011.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形1-1-202-0011。二、证明题（每题10分，共30分）1.设321,,是三维V线性空间V的一组基,试求由向量2133212321122-.生成的子空间),,(U321的一个基.2.设T是复内积空间V的线性变换，写出该空间上的极化恒等式,并在已知(T(),T())=(,)的前提下,证明:(T(),T())=(,)3.等价的-阵有相同的各阶不变因子.三、简单论述题(共30分)1.试述:是否有同时把两个以上的矩阵同时化成简单矩阵的方法?对矩阵的要求是什么?这些条件的作用是什么?化简具体的步骤有那些(10分)?2.矩阵的广义逆部分都讲述了一些什么内容?各自有什么特点?矩阵的广义逆和过去我们熟知的矩阵的逆之间有什么联系和差别?试分析造成这些差别的原因.给出一个与本专业相关的矩阵的广义逆的应用实例(20分).硕士研究生《矩阵分析》试题(B卷)一、计算题(每题10分,共40分)1.设函数矩阵tt2t-2t2t03t02eetarctanet)t1ln(tA(t)试求)tA(dtd.2.设矩阵11-2010012A试求cosA.3.将下面矩阵作QR分解及谱分解:1-11-032-01-1.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形a00ba00ba.三、简单论述题(共30分)1.试述:实现实系数和复系数多项式因式分解会遇到那些逻辑上的基本问题?这些问题又是怎么样被解决的(给出主要的步骤)?（10分）。2.矩阵的广义逆都讲述了一些什么内容?各自有什么特点?矩阵的广义逆和过去我们熟知的矩阵的逆之间有什么联系和差别?试分析造成这些差别的原因.给出一个与本专业相关的矩阵的广义逆的应用实例(20分).硕士研究生《矩阵分析》试题(A卷)一、计算题(每题8分,共40分)5.设函数矩阵001tcoste-sintcostt11)xx(12)tln(3A(t)2t2102试求t)dtA(10;)tA(lim0t.6.设矩阵314-020112-A试求sinA.7.(16分)将下面矩阵作满秩分解和QR分解:110011-111.8.把-矩阵化为标准形0001-003200)2(03)4(1202222。二、证明题（每题10分，共30分）2．设线性空间为连续函数空间Ｃ［ａ，ｂ］，证明：若对任意的Ｃ［ａ，ｂ］中的连续函数：定义dxxgxfxgxf)()()(),(）（构成一个内积。３．在上面的内积定义下，证明：,cos,,3cos,2cos,cos1nxxxx，构成了Ｃ［ａ，ｂ］的一组正交基。三、简单论述题(共30分)3.试述:复内积空间的定义与实内积空间的定义有什么异同，为什么要做这些局部的调整？请对调整的理由进行解释，并说明这两个空间角度的引入思路(1５分)?4.矩阵的广义逆部分都讲述了一些什么内容?试自己选一种书中矩阵的广义逆，用其与过去我们熟知的矩阵的逆之间进行比较，找出其共同点有什么联系和差别。并分析一下这些差别可能导致的结果。给出一个与本专业与你讨论的矩阵的广义逆的应用实例(１５分).2010硕士研究生《矩阵分析》试题(B卷)一、计算题(每题8分,共40分)9.设函数矩阵0011)ln(tte-sintcostt11etsinA(t)2t2t2试求t)dtA(10;)tA(lim0t.10.设矩阵221131122A试求Ate.11.(16分)将下面矩阵作奇异值分解及满秩分解:101101.12.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形1-1-202-0011。2011硕士研究生《矩阵分析》试题(A卷)一、计算题(每题10分,共40分)13.设函数矩阵01arctan)1arcsin(ta2tcosA(t)222t22tt试求)tA(tdd;)tA(lim0t.14.设矩阵211-0A试求Ae.15.求下面矩阵的谱分解:1411A.16.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形201034-011-。二、证明题（每题10分，共30分）4.设V1,V2是内积空间V的两个子空间,证明:2121VVVV.5.设T是复内积空间V的线性变换，n21e,e,e是它的一组标准正交基，证明)T(e),T(e),T(en21也是它的一组标准正交基三、简单论述题30分)5.(10分)简述:多项式进行代数分解所需要考虑的问题和具体的解决方法。6.（20分）实内积空间的角度是如何引入的?复空间中的角度又是怎样定义的?试给出主要的过程.2011硕士研究生《矩阵分析》试题(B卷)一、计算题(每题10分,共40分)17.设函数矩阵00sin10a0tln0tcosA(t)t2t试求;tdtA)(.18.设矩阵211-0A试求Ains.19.求下面矩阵的奇异值分解:11010120.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形1-1-2-010021。二、证明题（每题10分，共30分）6.设V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明:21WW是V的子空间．设线性空间为连