矩阵可逆的若干判别方法

矩阵可逆的若干判别方法可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。一、矩阵可逆的基本概念（1）对于n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I则称矩阵A为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A可逆，称B为A的逆矩阵，记作B=A-1。注：若矩阵可逆，则A的逆矩阵由A唯一确定。（2）矩阵A的行秩等于列秩。（3）矩阵A经过一系列初等变换得到矩阵B，则A与B等价。（4）记矩阵A中元素aij的代数余子式为Aij，则A*=（Aij）Tn×n，我们就称A*为A的伴随矩阵。二、矩阵可逆的性质（1）若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且（A-1）-1=A。（2）若矩阵A,B均可逆，则矩阵AB也可逆，且(AB)-1=B-1A-1。（3）若矩阵A可逆，则AT也可逆，且（AT）-1=（A-1）T。（4）若矩阵A可逆，0，则A也可逆，且(A)=1A-1。（5）若矩阵A可逆，则|A-1|=||1A。（6）矩阵A的逆矩阵A-1=||*AA。（7）若A为m×n阶矩阵，P为m阶矩阵，Q为n阶矩阵，A,P,Q均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。三、矩阵可逆的若干判别方法（一）定义判别法对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I,则A可逆，且B为A的逆，记为B=A-1。例1.判断矩阵A=010100001是否可逆？证存在矩阵B=010100001，使得AB=BA=100010001所以矩阵A可逆。注：此方法大多适用于简单的矩阵。（二）行列式判别法矩阵A可逆的充要条件是A为方阵且|A|0。例2.判断矩阵A=311283501与矩阵B=2-04131120是否可逆？证因为|A|=-30，|B|=0，所以矩阵A可逆，而B不可逆。（三）秩判别法n阶矩阵A可逆，则r（A）=n。证因为矩阵A可逆，则|A|0，可得到r（A）=n，反之也成立。例3.判断矩阵A=711012531与矩阵B=1-22011121是否可逆？证A=71101252121010305212101600901所以r（A）=3，A可逆。B=122001121000120001120001120所以r（B）=23，B不可逆。（四）伴随矩阵判别法若A可逆，则存在矩阵B=||*AA,使得AB=BA=E。例4．矩阵A=341253621，判断它是否可逆，若可逆，求出它的逆。证因为|A|=350，则A可逆，A*=127163726187,所以A-1=||*AA=351-352-51351631-51-3526-351851注：求伴随矩阵时，要注意元素的位置与符号。(五)初等变换判别法对矩阵A施行行（列）初等变换，得到矩阵B，若B可逆，则A也可逆。证因为A与B等价，则有r(A)=r(B)，所以当矩阵B可逆时，矩阵A也可逆。注：也可用初等行（列）变换求A的逆。用初等行变换：BEEAB为A的逆，B=A-1。列初等变换：BEEAB为A的逆。例5.求矩阵A=410113201的逆。解11-354-122-25-10001000111-3013-0011005-10201100013-0014105-10201100010001410113201所以A-1=1135412225（六）初等矩阵判别法若矩阵A可逆，则A可以表示为一系列初等矩阵的乘积，即A=P1P2……PS证因为|A|=|P1P2……PS|0，所以矩阵A可逆，反之也成立。同时，若矩阵A可逆，则A可经过一系列初等变换化为单位矩阵。例6.判断矩阵A=01-2411210是否可逆？证A=01-24112101000100012-002102018-3-021041101-2210411所以矩阵A可逆。（七）矩阵的向量组的秩判别法若矩阵A可逆，则A的各行或各列所形成的向量组线性无关。若矩阵A可逆，则有r(A)=n,且行秩等于列秩等于n.（八）线性方程组判别法有方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111①当b1=b2=……=bn=0时，方程组为齐次线方程组，所以有nnnnnnnxxxaaaaaaaaa21212222111211=0,AX=0,当且仅当此方程组有零解时，即x1=x2=……=xn=0时，设矩阵A各列形成的向量组为1、2、……、n，所以02211nnxxx，而x1=x2=……=xn=0，则1、2、……、n线性无关，因此矩阵A可逆。②当ib0时，即方程组为非齐次线性方程组时，方程组有唯一解时，矩阵A可逆。证1b、2b、……、nbnnxxx2211因为|A|0，则x1、x2、……、xn由唯一确定。（九）标准型判别法任一s×n阶方阵A都与形为rsrsrnE000r的矩阵等价，此矩阵称为矩阵A的标准型，且r=r(A),E为单位矩阵，0为零矩阵。即若n阶方阵A可逆，则可化为标准型E。（十）多项式判别法n矩阵A可逆，则有多项式𝑓(𝑥)，满足𝑓(𝐴)=0，常数项不为零。证𝑓（）=n-(a11+a22+……+ann)n-1+……+(-1)|A||A|0,则（-1）|A|0，常数项不为零。反之也成立。（十一）特征值判别法n阶矩阵A可逆，则矩阵A的特征值不全为零。证𝑓（）=n-(a11+a22+……+ann)n-1+……+(-1)|A|则|A|=r21（rn），所以矩阵A可逆。四、常见矩阵的可逆性（一）单位矩阵可逆，EE=E。（二）数量矩阵A=aaa000000可逆。A=aE,A-1=(aE)-1=Ea1（三）对角阵A=naaa00000021可逆，主对角线上元素全不为零。证主对角线上元素全不为零，则|A|0，所以A可逆。（四）分块矩阵可逆。（五）上三角与下三角矩阵可逆。（六）正交矩阵可逆，且A-1=AT。（七）过度矩阵与度量矩阵均可逆。小结：学会了如何判断一个矩阵是否可逆，了解这十一种判别方法，会让我们更快的解决此类问题，同时也让我们领略到了高等代数的魅力，解决方法是多样化的，探索解决问题的过程是美妙的。矩阵的运用极其广泛，可逆矩阵就是其中的关键部分，不伦结果是怎样的，毫无疑问的是数学真的是一门很神奇的学科。