矩阵理论应用论文

高维随机矩阵理论在数组信号检测与估计中的应用摘要本文中，我们展示了高维随机矩阵理论在频谱中的要素、相关源的检测并解决了在大数组中的估计问题。这些结果适用于样本空间的协方差矩阵𝑅̂中所感测的数据。可以看出，可以实现的检测样品尺寸大小小于传统方法所要求的。如果确定了预定的方向，可以通过给𝑅̂设置限制条件，包括从高维随机矩阵理论中提出的，可以得到更加准确的估计。一组理论用来解决可行性问题。讨论了一些没有解决的问题。问题声明我们认为，当p很大时，检测映射在数列p（qp）的传感器上的q的数量以及他们的到达方向是个问题。该模型的成像机制如下。在每个时间t的第j个信号出现在场景中时，第i个传感器的加性噪声和在第i个传感器接收到的数据可以分别用平方可积的复数值随机变量序列𝑆𝑗(𝑡)、𝑁𝑖(𝑡)和𝑋𝑖(𝑡)表示。随机向量（S(t)=[𝑆1(𝑡)……𝑆𝑞]）𝑇，𝑡∈[0，+∞]，𝐸𝑆(0)=0和奇异空间的协方差矩阵𝑅𝑆=𝐸𝑆(0)𝑆(0)∗。此外，假设随机变量序列(𝑁𝑖(t)｜1≤i≤p，𝑡∈[0，+∞])，E𝑁1(0)=0和E｜𝑁1(0)｜2=𝜎2，𝜎2未知，与随机变量序列(𝑆𝑗(t)｜1≤j≤p，𝑡∈[0，+∞])独立。让N(t)=σW(t)=σ[𝑊1(𝑡)……𝑊𝑝(t)]𝑇（𝑊𝑖(𝑡)被标准化）和X(t)=[𝑋1(𝑡)……𝑋𝑝(t)]𝑇。这些由阵列传感器收集的数据被建模成为随机向量的观测值X(t)=AS(t)+N(t)𝑡∈[0，+∞]，A是根据阵列的几何尺寸和信号参数的p*q的矩阵，假设秩为q。在数据处理中的检测问题是从观测到的n个快照(𝑋(𝑡𝑖))1≤i≤n中估计q。根据上述假设，随机向量(𝑋(𝑡))𝑡∈[0，+∞]由空间的协方差R=EX(0)𝑋(0)∗=𝐴𝑅𝑆𝐴∗+𝜎2𝐼𝑝决定，𝐼𝑝表示p*p的单位矩阵。此外，R的p-q的最小特征值等于σ2。这些特征值被称为噪声特征值，频谱的其余部分被称为信号的特征值。由于不知道R的频谱，所以必须从观察到的样本协方差矩阵𝑅̂=(1/𝑛)∑𝑋(𝑡𝑖)𝑋(𝑡𝑖)∗𝑛𝑖=1中推断。严格的说，必须决定观察到的频谱从哪分成噪声和信号的特征值。这个估计问题是确定源(𝜃𝑖)1≤i≤p的到达方向。在标准的假设下，这个问题是可以通过了解R，用MUSIC方法解决的。然而，在实践中当n不是足够大时只能得到𝑅̂，从而导致较差的估计。在本文中，我们把发挥维随机矩阵谱理论的要素，并展示他们的相关源检测与估计。高维随机矩阵理论设M是一个有实特征值(Λ𝑖)1≤𝑖≤𝑚的m*m维随机矩阵。然后，(Λ𝑖)1≤𝑖≤𝑚的经验分布函数(∀x∈IR)𝐹𝑀(𝑥)=1𝑚∑1[−∞,𝑥]𝑚𝑖=1(Λ𝑖)是个随机过程。我们现在回顾的主要成果，发现一个极限定理：理论1设(𝑌𝑖𝑗)𝑖,𝑗≥1是E｜𝑌11−𝐸𝑌11｜2=1的独立同分布的实值随机变量。对IN∗中的每一个m，设𝑌𝑚=｜𝑌𝑖𝑗｜𝑚×𝑛，n=n(m),m/n→y0,m→+∞，使𝑇𝑚为m*m的对称非负有限维随机矩阵与𝑌𝑖𝑗独立，存在一个整数序列(μ𝑘)𝑘≥1使得对IN∗中每一个k有∫𝑥𝑘𝑑𝐹𝑇𝑚+∞0=1𝑚𝑡𝑟𝑇𝑚𝑘𝑎.𝑠.→𝜇𝑘,𝑚→+∞满足克莱曼法则的充分条件，∑𝜇2𝑘−1/2𝑘𝑘≥1=+∞，有且仅有离散函数H在(μ𝑘)𝑘≥1时。使𝑀𝑚=(1/𝑛)𝑌𝑚𝑌𝑚𝑇𝑇𝑚。依概率弱收敛于在离散函数F当(𝐹𝑀𝑚)𝑚≥1，(∀x∈I𝑁∗)𝑣𝑘=∑𝑦𝑘−𝜔𝑘𝜔=1∑𝑘!𝑚!∙∙∙𝑚𝜔!𝜔!𝜇1𝑚1⋯𝜇𝜔𝑚𝜔内核遍历所有w的所有非负整数使得(𝑚1⋯𝑚𝜔)使得∑𝑚𝑖𝜔𝑖=1=𝑘−𝜔+1和∑𝑖𝑚𝑖𝜔𝑖=1=k。此外，此时唯一确定F。下面的理论在T𝑚是单位矩阵的倍数时适用。理论2当𝑇𝑚=𝜎2𝐼𝑚，F已知，代数密度在[𝜎2(1−√𝑦)2,𝜎2(1+√𝑦)2]是正实数。𝑀𝑚最大的特征值几乎可以肯定收敛[各自概率]于𝜎2(1+√𝑦)2,m→+∞当且仅当E𝑌11=0,𝐸|𝑌11|4+∞[分别有𝑥4𝑃{|𝑌11|≥𝑥}→0,x→+∞]。此外，如果𝑌11是标准高斯化，当y1时，𝑀𝑚的最小特征值收敛于𝜎2(1−√𝑦)2。还几个有关于F的结果在[14]中提到，包括在y→0时，F收敛于H，和通过y和H计算F的方法。信号检测中的应用现有的方法，比如在信息论的基础上，依靠样本空间的协方差的噪声特征值之间的相关性。在源的数量很大时，为了获得很好的估计，需要很大的样本量（有时是无法得到的）。在信号上附加假设时（包括快照的独立性），定理1表明，p和n充分大时，有很大的可能性，经验离散函数F𝑅接近于离散函数F，当m=p，y=p/n和H=𝐹𝐴𝑅𝑆𝐴∗+𝜎2𝐼𝑝。当H是这样时进一步的分析表明，可以计算的到𝑦̃的值∈[0,𝑦̃]当且仅当F可以被分解成至少2个间隔，当最左边的间隔具有质量（p-q）/p。例如，在模拟[14]中，p=50，𝑦̃的结果为1.058，从而可以允许相对较小的样本大小。然而，模拟显示比起分解F特征值分解更加有效。因此，下面的数学验证这种现象是有效的，𝑅̂会被分解成2个数量级与传感器相同的2组，每个组左依赖于真正的协方差举证的最小特征值重数。因此，检测可以以大大小于以前方法所要求的样本大小实现。方位估计中的应用在我们的基本假设下，波达方向可以通过MUSIC算法的空间协方差矩阵R计算。在实践中，由于缺乏对R的认识，必须在观察样本协方差矩阵的基础上就行计算。因为𝑅̂往往是R的较差的近似，该方法可以在应用于MUSIC前通过以一个满足上述先验约束的矩阵来代替𝑅̂。通过调用一套理论来估算和(Ψ𝑖)1≤𝑖≤𝑀表示的约束，这个可行性问题可以归结为找到子集中的一个RS=⋂𝑆𝑖𝑀𝑖=1，𝑆𝑖={𝑄｜Q满足Ψ𝑖}在一般情况下，直接找到一个在S中的点是不可能的。使П𝑖投影映射到𝑆𝑖，П𝑖(𝑄)是在𝑆𝑖中距离Q最近的（为了使计算可追踪，我们应采取Frobenius距离）。在特定的集合和初始点𝑄0，序列(𝑄𝑛)𝑛≥0将收敛于𝑄̃，其中𝑄𝑛+1∈П𝑖𝑛(𝑄𝑛)。在这个方案中，集合(𝑆𝑖)1≤𝑖≤𝑀周期性的更新，通过当前集合预测下一集合。首先，我们可以在R-空间带来的问题构建一套真正的协方差矩阵的估计。根据上述驾驶假设，R的秩为q是一个明显的先验约束。因此，可以考虑（封闭的，非凸）矩阵𝑆1的秩最多为q。其他的限制可能会从这个几何数组中出现。因此，如果等间距的传感器阵列是线性的，R将有一个Toeplitz矩阵结构，并可取𝑆2是Toeplitz矩阵的子空间。几个在阵列处理中使用投影到𝑆2的应用已经被报道，列入[9]，通常被称为Toeplitzation。文献[2]提出通过𝑆1和𝑆2交替预测。应该指出的是，在这样的过程中，可能会出现正定性的损失。因此，应该加入第三个集合，即正定矩阵。在模拟中，通过使用协方差矩阵约束𝑅̂而不是他原是对应的𝑅̂已经被报道，特别是当样本数目n的信噪比很低时。在上述方法中，想要直接估计R，这限制了对噪声提供的信息利用。另一种方法是估计无噪声p*n的数据矩阵H=𝑛−1/2𝐴𝑆模型中X=AS+N4。H的估计值𝐻̃可以通过各种约束条件合成。然后可以形成约束估计A𝑅𝑆𝐴∗,例如，R=H𝐻∗，对它使用MUSIC。现在让我考虑可以施加到H上的约束。为此目的，对给定的H估计值𝐻̂定义了剩余矩阵Y(𝐻̂)=X−𝑛1/2𝐻。注意到，我们有Y(H)=N。因此，所有涉及到N的统计信息可以加在𝐻̃上，并可以根据这个规则建立几个集合。举例来说，在我们的假设下，Y(𝐻̃)应该看起来像零均值、均方差为𝜎2的独立同分布。一个直接用于分析样品均值的应用将导致一组类型𝑆𝑖={𝐻̂｜|∑𝑦𝑘(𝐻̂)2𝑛𝑝𝑘=1|≤𝛿𝑖}其中Y(𝐻̃)是通过层叠得到的矢量的实部和虚部。以类似的方式，可以得到Y(𝐻̃)的其他统计。H-空间框架也使得运用高维随机矩阵的性质变得可能。事实上，根据理论2，可以通过Y(𝐻̃)的最大奇异值获得一个限制（在高斯情况下也为最小）。在最大奇异值的情况下，可以获得𝑆𝑖={𝐻̂｜‖𝑌(𝐻̂)‖𝑆2≤𝑛(𝜎2(1+√𝑦)2+𝜖𝑖)}其中‖∙‖𝑆表示谱范，𝜖𝑖表示置信区间。当然，前面提到的所有有关A𝑅𝑆𝐴∗的约束条件也可用在H-空间。例如，设置与Toeplitz相关的约束𝑆𝑖={𝐻̂｜𝐻̂𝐻̂∗𝑖𝑠𝑇𝑜𝑒𝑝𝑙𝑖𝑡𝑧}开放的问题高维随机矩阵有几个在应用于上述阵列信号处理中存在着几个数学问题。三个最相关的概述如下。扩展定理1定理1的应用需要2个在形成信号向量S(t)的假设。首先是S(t)=CV(t)，其中C是一个固定的q×q的奇异矩阵，V(t)是独立同分布的随机变量的噪声成分。由于通常假定信号和噪声成分是高斯的，这并不会称为一个主要的问题。第二假设是整个快照下的独立的信号向量。这个更加严重，即使在几个数学处理下假定的独立样本（例如，在标准信息论中计算q），并在大多数的文献中的模拟中都能找到。扩展定理1中𝑌𝑚是否具有固定列的可能性还需要调查。特征值分解在检测问题中，遵照精确的额特征值分解的模拟是惊人的。更强的极限性质比弱收敛的离散函数是更加有效的，证明了这种追求是值得的。结果基本上是扩展定理2上的(1/n)𝑌𝑚𝑌𝑚𝑇的极端特征值。收敛速度这个问题的普遍问题是如何快速的接近极限值。[14]表明，对于p=50分离噪声和信号的特征值R与分离的F是一致的。初步𝐹(1/n)𝑌𝑚𝑌𝑚𝑇分析1/m表明收敛速度1/m，支持通过限制行为可以不需要很高的m这个观点。这里提到了2个另外的问题。预测计算集合论建议的方法来确定到达方向是有一个缺点，在涉及到计算每次迭代预测的数值时单调乏味。一般情况下，集的形式由𝑆𝑖={𝑄｜𝑔𝑖(𝑄)≤𝛿𝑖}给出，其中𝑔𝑖是一个给定的函数。通过求解最小化问题得到矩阵Q’在𝑆𝑖上的投影min𝑄‖𝑄′−𝑄‖服从𝑔𝑖(𝑄)=𝛿𝑖可以通过拉格朗日乘法器得到。但是，在𝑆𝑖不是凸面的情况下，可能会出现局部最小值。在这种情况下，应该提出高效的综合方法来结局最小化问题。收敛的可行点由于存在非凸集，一个可行点的连续投影算法的收敛性不能保证任何的初步估计。虽然用提供的的迭代点开始是个明智的选择（例如，𝑅0=𝑅̂在R-空间方法，或者𝐻0=𝑛−1/2在H-空间方法），但它并不能保证收敛。因此，收敛性问题值得进一步调查。参考文献[1]Z.D.Bai,J.W.Silverstein,andY.Q.Yin,“ANoteontheLargestEigenvalueofaLargeDimensionalSampleCovarianceMatrix,”JournalofMultivariateAnalysis,vol.26,no.2,pp.166-168,August1988.[2]J.A.Cadzow,“SignalEnhancement-ACompositePropertyMappingAlgorithm,”IEEETransactionsonAcoustics,Speech,andSignalProcessing,vol.36,no.1,pp.49-62,January1988.[3]P.L.CombettesandM.R.Civanlar,“TheFoundationsofSetTheoreticEstimation,”ICASSPProceedings,pp.2921-