矩阵的对角化

第四章矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例4.1.1经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设𝑥0，𝑦0分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，𝑥1，𝑦1分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系{𝑥1=3𝑥0+𝑦0，𝑦1=2𝑥0+2𝑦0.令𝛂𝟎=(𝒙𝟎𝒚𝟎)，𝛂𝟏=(𝒙𝟏𝒚𝟏)，𝐀=(𝟑𝟏𝟐𝟐)，则上述关系的矩阵形式为：𝛂𝟏=𝑨𝛂𝟎.若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平𝛂𝟎=(𝒙𝟎𝒚𝟎)=(𝟏𝟏)，则若干年后的环境污染水平与经济发展水平为𝛂𝟏=𝑨𝛂𝟎=(3122)(𝒙𝟎𝒚𝟎)=(3122)(𝟏𝟏)=(𝟒𝟒)=𝟒(𝟏𝟏)=𝟒𝛂𝟎，即𝑨𝛂𝟎=𝟒𝛂𝟎.这里，4就是矩阵𝑨的一个特征值，𝛂𝟎是矩阵𝑨的对应于4的一个特征向量.定义4.1.1设𝑨为𝑛阶矩阵，若存在数𝜆和𝑛维非零列向量𝜶，使得𝐀𝛂=𝛌𝛂；则称𝝀为矩阵𝑨的特征值，𝛂𝟎是矩阵𝑨一个特征值，𝛂𝟎称为𝑨的属于（或对应于）特征值𝜆的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若𝜶为𝑨的属于𝝀的特征向量，则对于非实数𝑘，𝑘𝜶也是𝑨的属于𝝀的特征向量.（2）若𝛂𝟏，𝛂𝟐为𝑨的属于𝝀的特征向量，则当𝛂𝟏+𝛂𝟐≠𝟎时，𝛂𝟏+𝛂𝟐也是𝑨的属于𝝀的特征向量.（3）若𝛌𝟏，𝛌𝟐为𝑨的互异特征值，𝛂𝟏，𝛂𝟐分别为𝑨的属于𝛌𝟏，𝛌𝟐的特征向量，则𝛂𝟏≠𝛂𝟐.证若𝛂𝟏≠𝛂𝟐，则𝑨𝛂𝟏≠𝑨𝛂𝟐，即𝝀𝟏𝜶𝟏=𝝀𝟐𝜶𝟐=𝝀𝟐𝜶𝟏，故(𝝀𝟏−𝝀𝟐)𝜶𝟏=𝟎.由于𝝀𝟏≠𝝀𝟐，所以𝛂𝟏≠𝟎，矛盾.因此𝛂𝟏≠𝛂𝟐.例4.1.2求𝑛阶方阵𝑨=(𝑎𝑏𝑏⋯𝑏𝑏𝑎𝑏⋯𝑏⋮⋮⋮⋮𝑏𝑏𝑏⋯𝑎)的一个特征值与所对应的特征向量.解取𝑛维向量𝜶=(1，1，1)𝑇，则𝑨𝜶=(𝑎𝑏𝑏⋯𝑏𝑏𝑎𝑏⋯𝑏⋮⋮⋮⋮𝑏𝑏𝑏⋯𝑎)(11⋮1)=(𝑎+(𝑛−1)𝑏𝑎+(𝑛−1)𝑏⋮𝑎+(𝑛−1)𝑏)=[𝑎+(𝑛−1)𝑏](11⋮1)=[𝑎+(𝑛−1)𝑏]𝜶，故𝝀=𝑎+(𝑛−1)𝑏是𝑨的一个特征值，𝜶是𝑨属于特征值𝝀=𝑎+(𝑛−1)𝑏的一个特征向量.将（4.1.1）写成下面形式(𝝀𝑬−𝑨)𝜶=𝟎.根据定义，特征向量𝜶就是齐次线性方程组(𝝀𝑬−𝑨)𝜶=𝟎.（4.1.2）的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知𝑛阶矩阵𝑨的特征值𝝀满足方程|𝝀𝑬−𝑨|=𝟎.为叙述方便，引入下面的概念.定义4.1.2.𝑨=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑛，称𝒇(𝝀)=|𝝀𝑬−𝑨|=||𝝀−𝑎11𝑎12⋯−𝑎1𝑛−𝑎21𝝀−𝑎22⋯−𝑎2𝑛⋮⋮⋮−𝑎𝑛1−𝑎𝑛2⋯𝝀−𝑎𝑛𝑛||为矩阵𝑨的特征多项式，𝝀𝑬−𝑨称为𝑨的特殊矩阵，|𝝀𝑬−𝑨|=𝟎称为𝑨的特征方程.二、特征值与特征向量的计算求𝑛阶矩阵𝑨的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：（1）计算𝑨的特征多项式|𝝀𝑬−𝑨|，求出特征方程|𝝀𝑬−𝑨|=𝟎的全部根𝝀𝟏，𝝀𝟐，⋯，𝝀𝒏.对每个特征值𝝀𝒊(𝑖=1，2，⋯，𝑛)，求解齐次线性方程组(𝝀𝒊𝑬−𝑨)𝒙=𝟎.设它的一个基础解系为𝜶𝒊𝟏，𝜶𝒊𝟐，⋯，𝜶𝒊𝒏𝒊，则𝑨的属于𝝀𝒊的全部特征向量为𝑘1𝜶𝒊𝟏+𝑘2𝜶𝒊𝟐+⋯+𝑘𝑛𝑖𝜶𝒊𝒏𝒊其中𝑘1，𝑘2，⋯，𝑘𝑛𝑖为不全为零的任意常数.限于本教材适用范围，我们将不讨论𝑨的复特征值和特征向量.例4.1.3求矩阵𝑨=(𝟐−𝟐𝟎−𝟐𝟏−𝟐𝟎−𝟐𝟎)的特征值与特征向量.解矩阵𝑨的特征多项式𝒇(𝝀)=|𝝀𝑬−𝑨|=||𝝀−𝟐𝟐𝟎𝟐𝝀−𝟏𝟐𝟎𝟐𝝀||=𝝀(𝝀−𝟏)(𝝀−𝟖)−𝟖(𝝀−𝟏)=(𝝀+𝟐)(𝝀−𝟏)(𝝀−𝟒)由|𝝀𝑬−𝑨|=0，得𝑨的特征值为𝝀𝟏=−𝟐，𝝀𝟐=𝟏，𝝀𝟑=𝟒.对于𝝀𝟏=−𝟐，解齐次线性方程组(−𝟐𝑬−𝑨)𝒙=𝟎,，即解方程组(−4202−3202−2)(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑)=(𝟎𝟎𝟎)，得基础解系𝝃𝟏=(𝟏，𝟐，𝟐)𝑻，所以对应于𝝀𝟏=−𝟐，的全部特征向量为𝒌𝟏𝝃𝟏（𝒌𝟏≠𝟎）.对于𝝀𝟐=−𝟐，解齐次线性方程组(𝑬−𝑨)𝒙=𝟎，即解方程组(−120202021)(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑)=(𝟎𝟎𝟎)得基础解系𝝃𝟐=(𝟐，𝟏，−𝟐)𝑻，所以对应于𝝀𝟐=𝟏的全部特征向量为𝒌𝟐𝝃𝟐（𝒌𝟐≠𝟎）..对于𝝀𝟑=𝟒，解齐次线性方程组(𝟒𝑬−𝑨)𝒙=𝟎，即解方程组(220232024)(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑)=(𝟎𝟎𝟎)，得基础解系𝝃𝟑=(𝟐，−𝟐，1)𝑻，所以对应于𝝀𝟑=𝟒的全部特征向量为𝒌𝟑𝝃𝟑（𝒌𝟑≠𝟎）..例4.1.4求矩阵𝑨=(𝟑𝟐𝟒𝟐𝟎𝟐𝟒𝟐𝟑)的特征值与特征向量解矩阵𝑨的特征多项式为𝒇(𝝀)=|𝝀𝑬−𝑨|=||𝝀−𝟑−𝟐−𝟒−𝟐𝝀−𝟐−𝟒−𝟐𝝀−𝟑||||𝝀+𝟏𝟎−(𝝀+𝟏)−𝟐𝝀−𝟐−𝟒−𝟐𝝀−𝟑||=(𝝀+𝟏)𝟐(𝝀−𝟖),由|𝝀𝑬−𝑨|=0，得𝑨的特征值为𝝀𝟏=𝝀𝟐=−𝟏，𝝀𝟑=𝟖.对于𝝀𝟏=𝝀𝟐=−𝟏，解齐次线性方程组(−𝑬−𝑨)𝒙=𝟎，即解方程组(−4−2−4−2−1−2−4−2−4)(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑)=(𝟎𝟎𝟎)，得基础解系𝝃𝟏=(−𝟏，𝟐，0)𝑻，𝝃𝟐=(𝟐，𝟏，−𝟐)𝑻，所以对应于𝝀𝟏=𝝀𝟐=−𝟏的全部特征向量为𝒌𝟏𝝃𝟏+𝒌𝟐𝝃𝟐（𝒌𝟏，𝒌𝟐不全为零）.对于𝝀𝟑=𝟖，解齐次线性方程组(𝟖𝑬−𝑨)𝒙=𝟎，即解方程组(5−2−4−28−2−4−25)(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑)=(𝟎𝟎𝟎)，得基础解系𝝃𝟑=(−𝟏，𝟐，0)𝑻，所以对应于𝝀𝟑=𝟖的全部特征向量为𝒌𝟑𝝃𝟑（𝒌𝟑≠𝟎）.𝑟1−𝑟3例4.1.5求矩阵𝑨=(𝟑𝟐𝟒𝟐𝟎𝟐𝟒𝟐𝟑)的特征值与特征向量解矩阵𝑨的特征多项式为𝒇(𝝀)=|𝝀𝑬−𝑨|=||𝝀−𝟑𝟏−𝟏−𝟐𝝀−𝟏−𝟏𝟏𝝀−𝟐||||𝝀−𝟐𝟏−𝟏𝝀−𝟐𝝀−𝟏𝟎𝟏𝝀−𝟐||=(𝝀−𝟐)𝟐(𝝀−𝟏),由|𝝀𝑬−𝑨|=0，得𝑨的特征值为𝝀𝟏=𝝀𝟐=𝟐，𝝀𝟑=𝟏.对于𝝀𝟏=𝝀𝟐=𝟐，解齐次线性方程组(𝟐𝑬−𝑨)𝒙=𝟎，即解方程组(−11−1−22−1−110)(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑)=(𝟎𝟎𝟎)，得基础解系𝝃𝟏=(𝟏，𝟏，0)𝑻，所以对应于𝝀𝟏=𝝀𝟐=𝟐的全部特征向量为𝒌𝟏𝝃𝟏（𝒌𝟏≠𝟎）.对于𝝀𝟑=𝟏，解齐次线性方程组(𝑬−𝑨)𝒙=𝟎，即解方程组(−21−1−21−1−11−1)(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑)=(𝟎𝟎𝟎)，得基础解系𝝃𝟐=(𝟎，𝟏，1)𝑻，所以对应于𝝀𝟑=𝟏的全部特征向量为𝒌𝟐𝝃𝟐（𝒌𝟐≠𝟎）.三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1𝑛阶矩阵𝑨与𝑨𝑻有相同的特征值.证由|𝝀𝑬−𝑨𝑻|=|(𝝀𝑬−𝑨)𝑻|=|𝝀𝑬−𝑨|，知𝑨与𝑨𝑻有相同的特征多项式，故有相同的特征值.定理4.1.2设𝑨=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑛，𝝀𝟏，𝝀𝟐，⋯，𝝀𝒏为方阵𝑨的𝑛个特征值，则有（1）𝝀𝟏𝝀𝟐⋯𝝀𝒏=|𝑨|（2）𝝀𝟏+𝝀𝟐+⋯+𝝀𝒏=𝒂𝟏𝟏+𝒂𝟐𝟐+⋯+𝒂𝒏𝒏证（1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有|𝝀𝑬−𝑨|=(𝝀−𝝀𝟏)(𝝀−𝝀𝟐)⋯(𝝀−𝝀𝒏)（4.1.3）令𝝀=𝟎，得|−𝑨|=(−𝝀𝟏)(−𝝀𝟐)⋯(−𝝀𝒏)=(−1)𝑛𝝀𝟏𝝀𝟐⋯𝝀𝒏，即|𝑨|=𝝀𝟏𝝀𝟐⋯𝝀𝒏（2）比较（4.1.3）式两端𝝀𝒏−𝟏的系数，右端为−(𝝀𝟏+𝝀𝟐+⋯+𝝀𝒏)，而左端含𝝀𝒏−𝟏的项来自|𝝀𝑬−𝑨|的主对角线元乘积项(𝝀−𝒂𝟏𝟏)(𝝀−𝒂𝟐𝟐)⋯(𝝀−𝒂𝒏𝒏)，其含𝝀𝒏−𝟏的系数为−(𝒂𝟏𝟏+𝒂𝟐𝟐+⋯+𝒂𝒏𝒏)，因此𝝀𝟏+𝝀𝟐+⋯+𝝀𝒏=𝒂𝟏𝟏+𝒂𝟐𝟐+⋯+𝒂𝒏𝒏.我们将𝑛阶矩阵𝑨的主对角线元之和称为矩阵𝑨的迹，记为tr（𝑨），即𝑐1+𝑐2tr（𝑨）=𝒂𝟏𝟏+𝒂𝟐𝟐+⋯+𝒂𝒏𝒏=nk1𝒂𝒌𝒌推论4.1.1𝑛阶矩阵𝑨可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.定理4.1.3若𝝀为𝑨的特征值，𝜶是对应的特征向量，则（1）𝑎𝝀为𝑎𝑨的特征值（𝑎为常数）；（2）𝝀𝒌为𝑨𝒌的特征值（𝑘为正整数）；（3）若φ(𝑥)为𝑥的多项式，则φ(𝝀)为φ(𝑨)的特征值；（4）若𝑨可逆，则1为𝑨−𝟏的特征值，1|𝑨|为𝑨∗的特征值.证由题意，对于𝜶≠𝟎，有𝑨𝜶=𝝀𝜶.（1）因为(𝑎𝑨)𝜶=𝑎(𝑨𝜶)=(𝑎𝝀)𝜶，故𝑎𝝀为𝑎𝑨的特征值.（2）由𝑨𝜶=𝝀𝜶，得𝑨𝟐𝜶=𝑨(𝑨𝜶)=𝑨(𝝀𝜶)=𝝀(𝑨𝜶)=𝝀𝟐𝜶，假设𝑨𝒌−𝟏𝜶=𝝀𝒌−𝟏𝜶，于是𝑨𝒌𝜶=𝑨(𝑨𝒌−𝟏𝜶)=𝑨(𝝀𝒌−𝟏𝜶)=𝝀𝒌−𝟏(𝑨𝜶)=𝝀𝒌𝜶，由数学归纳