矩阵的对角化及其应用

湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名：赵远安学号：021241015专业：数学与应用数学指导老师：刘先平答辩时间：2016.5.22装订时间：2016.5.25AGraduationThesis(Project)SubmittedtoSchoolofScience,HubeiUniversityforNationalitiesInPartialFulfillmentoftheRequiringforBSDegreeIntheYearof2016DiagonalizationoftheMatrixanditsApplicationsStudentName:ZHAOYuananStudentNo.:021241015Specialty:MathematicsandAppliedMathematicsSupervisor:LiuXianpingDateofThesisDefense:2016.5.22DateofBookbinding:2016.5.25I摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IIAbstractThematrixisanimportanttoolincollegemathematics,andcansimplifythedescriptionlanguagebasedontheapplicationofmatrixinmanyways.Soitiseasiertounderstandinmanyfields,forexample,linearequations,quadraticequations.Inmanycharacteristics,thematrixsimilarityisanveryimportantaspect.Weknowthatthematrixsimilarityisanequivalencerelationbywhichwecanclassifymatrix,thediagonalmatrixisveryimportant.Thiskindofmatrixhasgoodproperties,anditisconvenientforustosolveotherproblems,suchastheapplicationofsimilarmatrixinlinearspace.Inthispaper,wefirstdiscussmanynecessaryandsufficientconditionsofdiagonalizationofmatrixandthengivesomeapplicationsofspecialmatrixdiagonalization.Keywords:diagonalmatrix，realsymmetricmatrix，idempotentmatrix，involutorymatrix，theeigenvaule，thefeaturevector，minimalpolynomialIII目录摘要…………………………………………………………………………………………IAbstract……………………………………………………………………………………II绪言…………………………………………………………………………………………1课题背景……………………………………………………………………………………1目的和意义………………………………………………………………………………1国内外概况………………………………………………………………………………1预备知识……………………………………………………………………………………2相关概念……………………………………………………………………………………2矩阵的对角化………………………………………………………………………………4特殊矩阵的对角化………………………………………………………………………14矩阵对角化的应用………………………………………………………………………22总结………………………………………………………………………………………24致谢………………………………………………………………………………………25参考文献…………………………………………………………………………………26独创声明…………………………………………………………………………………2811绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念.在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的.在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1)研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2)比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破.实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中.矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善.22预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解.定义1常以nmP表示数域P上nm矩阵的全体，用E表示单位矩阵.定义2n阶方阵A与B是相似的，如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵TnnP，使得ATTB1或者BTTA1.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AEEA1；②对称性：若A相似于B，则B相似于A；③传递性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定义3n阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵TnnP，使得B=TTAT或者BTTAT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A=AEET；②对称性：由ATTBT即有11)(BTTAT；③传递性：由111ATTAT和2122TATAT有)()(21212TTATTAT.定义4式为mbbb000000021的m阶方阵叫对角矩阵，这里ib是数（),2,1mi.定义5方阵AnnP，若BTTA1，T非奇异，B是对角阵，则称A可相似对角化.定义6方阵AnnP，若BTTAT，T非奇异，B是对角阵，则称A可合同对角化.定义7矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i行(列)于j行(列)；⑵用非零数cP乘以矩阵第i行(列)；⑶把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义8由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵.共有三3种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(jiP且),(),(1jiPjiP；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((tiP且)/1(())((1tiPtiP；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(tjiP且))(,())(,(1tjiPtjiP.定义9设方阵nnPB，若EB2，就称B为对合矩阵.定义10设方阵nnPA，若AAm，就称A为幂幺矩阵.定义11设方阵CnnP，若CC2，就称C为幂等矩阵.定义12设方阵nnPA，P，若存在向量，满足XAl，我们就称是A的特征值，X是A属于特征值的特征向量.定义13nnPA，定义)(Am为矩阵A的最小多项式，)(Am的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，)(Am首项系数是1.43矩阵的对角化本章介绍数域P上n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1如果1，…，k是矩阵Q的不同的特征值，而,1i…，iir是属于特征值i的线性无关的特征向量，2,1i…,k，那么,11…,11r，…,1k，…，kkr也线性无关.证明：假设12121111tt…1111rrt…11kkt…kkkrkrt=0，Ptij，令11iit…+iiiikkt=i，则iiiQ（2,1i…k,），且21…k=0……（1）分别用,,,2QQE…1,kQ左乘以（1）两端，再由引理4得：iiimQ，（1...2,1km;ti,...,1),由此有.0......................................,0...,0...,0...12121112222121221121kkkkkkKkKk该线性方程组的系数矩阵为11211211111kkkkkD，D为范德蒙行列式，又由)...2,1(kii互异有0D.根据克拉默法则就有0i，即11iit…+iiiikkt=0，再由iiri,...,1线性无关得：)...2,1(0...21kitttiiiik，故kikrirr...,...,,...,1111线性无关.推论1属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理1QnnP与对角阵相似Q有n个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q可以对角化可逆矩阵21,(TTT，…，)nT使得5nQTT00211，即nTQT0021,,(21QTQT…),nQT=（,,21TT…nT,）.因此Q可以对角化存在iT（2,1i…n,）P使得iiiTQT，也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵nnPQ有n个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化.注意：该推论为对角化的充分条件.定理2t,...,,21（互不相同）是BnnP的特