矩阵相似的性质

1矩阵的相似1.1定义1.2性质1.3定理（证明）1.4相似矩阵与若尔当标准形2相似的条件3相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1】）矩阵的相似及其应用1.1矩阵的相似定义1.1：设,AB为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得1BXAX，就说A相似于B记作AB∽1.2相似的性质（1）反身性AA∽：；这是因为1AEAE.（2）对称性：如果AB∽，那么BA∽；如果AB∽,那么有X，使1BXAX，令1YX，就有11AXBXYBY，所以BA∽。（3）传递性：如果AB∽，BC∽，那么AC∽。已知有,XY使1BXAX，C1YBY。令ZXY，就有111CYXAXYZAZ，因此，AC∽。1.3相似矩阵的性质若,nnABC，AB∽，则：（1）()()rArB；引理：A是一个sn矩阵，如果P是一个ss可逆矩阵，Q是nn可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明：设,AB相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得1BCAC,由引理2可知，秩（B）=秩（1BCAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，()fx是任意多项式，则()fA相似于()fB，即11()()PAPBPfAPfB证明：设1110()nnnnfxaxaxaxa于是，1110()nnnnfAaAaAaAaE1110()nnnnfBaBaBaBaE由于A相似于B，则kA相似与kB，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得1kkBXAX，因此111110nnnnXfAXXaAaAaAaEX1111110nnnnaXAXaXAXaXAXaE1110nnnnaBaBaBaE()fB所以()fA相似于()fB。（3）相似矩阵有相同的行列式，即,ABtrAtrB；证明：设AB与相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得1BCAC，两边取行列式得：111BCACCACACCA，从而相似矩阵有相同的行列式。又由性质（2）知，AB与有相同的特征多项式，因而有相同的特征值12,,,n，而A的迹12ntrA，B的迹12ntrB，从而trAtrB，即相似矩阵有相同的迹（4）A与B有相同的Jordan标准形；（5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设AB与相似，由性质2可知AB，若A可逆，即0A，从而0B，故B可逆；若A不可逆，即=0A，从而=0B,故B不可逆。（6）若A与B相似，BD与相似，则0000ABCD与相似。证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得1BPAP,CD与相似，即存在可逆矩阵Q,使得1DQCQ，由于110000=0000BAPPDCQQ1000=000PAPQCQ显然00PQ是可逆矩阵。由此可见，则0000ABCD与相似。定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A在两组基：12,,,n（1）12,,.,n（2）下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：1212(,,,)(,,.,)nnAAAA，1212(,,,)(,,,)nnAAAB1212(,,,)(,,.,)nnX于是1212(,,,)(,,,)nnAAAA12[(,,.,)]nAX12(,,,)nAAAX12(,,,.)nAX112(,,.,)nXAX由此可得1BXAX现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以看作是n维线性空间V中一个线性变换在基12,,.,n下的矩阵。因为1BXAX，令：1212(,,,)(,,,.)nnX,显然，12,,n也是一组基，A在这组基下的矩阵就是B。例一：证明12n与21iiin相似，其中12,,,niii是1,2,,n的一个排列。证明：设：121212(,,)(,,)nnnA，则211212(,,,)(,,,.)iinninA，因为12n和21iiin是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。定理2.1：设,AB是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵EA和EB等价。例一：设,,abc是实数，bcaAcababc，cabBabcbca,证明A与B相似。证明：bcaEAcababcabccabbcacabbcaabccababcEBbca故EA和EB等价，从而AB∽3，矩阵相似的应用3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A）的初等因子。定理3.1.1：数域F上的方阵AB与相似的充要条件是EA和EB有相同的列式因子。定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A相似。证明：因为EA与EA互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故EA与EA等价，从而A与A相似。例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。证法一：设AB与相似，即可存在可逆矩阵Q，使1BQAQ，又设AB与的最小多项式分别为12,gg，于是：111210gBgQAQQgAQ,但是，B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故12gg证法二：设AB与相似，则EA和EB等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故AB与有相同的最小的多项式。4相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。例4：设复矩阵A的最小多项式21kf，证明：A与对角阵相似。证明：221,1,21kkffk，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。例5：设A为n阶方阵，fEA是A的特征多项式，并令：,fGff，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是0gA。证明：设1212nnnrfEA，其中12,,...r互不相等，且12rnnnn，则：12rg。如果A与一个对角矩阵相似，则EA的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是12,,,r，它们的乘积就是EA最后一个不变因子nd，亦即12nrdg。但nd就是EA的最小多项式，所以0ngAdA。反之，若0gA，则A的最小多项式nd整除g，因而nd没有重根，故A与对角矩阵相似。例7：设131210311A，试证明：（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。证明：⑴323128fEA,23612f,用辗转相除法可证得,1ff，故在复数域上A相似于对角矩阵。（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f有有理根，而f的首项系数为1，从而f的有理根必为整数根。由于f的常数项为-8，如果f有整数根必为1,2,4,8，用综合除法验算它们都不是f的根，因此f无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵0110A在实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵00iBi相似，事实上，取11Pii，即有1PAPB。