矩阵秩的研究与应用

1前言第3页（共25页）矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。矩阵秩的研究与应用第4页（共25页）矩阵秩的研究与应用1前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。矩阵秩的研究与应用第4页（共25页）2矩阵的理论研究2.1矩阵秩的定义：秩的定义形式上看比较简单，但是难于理解为什么这样定义，有什么缘由？事实上矩阵秩的概念是从线性方程组中来的：给出m个n元一次方程组成的方程组，其中有些方程可以用别的方程来运算得出，因此这些方程去掉后，不影响方程的通解性。比如方程5xy可以由以下两个方程相减得出347xy232xy因此由这三个方程组成的方程组与由后面两个方程组成的方程组是同解的，5xy是多余的，可去掉。这样对于m个n元一次方程组成的方程组就可想办法去掉那些可用其他方程表示的方程，剩下相互独立的方程。例如高斯消元法来去掉，而剩下的那些独立的方程的个数就是这个方程组的秩，矩阵的秩是从方程组的秩中来的，理解了这个就理解了秩的概念，这也是秩的几何意义。如果从向量的相关性的角度考虑，可以这样认为：是矩阵的行（列）向量组的极大线性无关组的这个数，即这个向量组的行（列）秩。传统的代数中有两种定义矩阵的秩的方法：定义1：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩。定义2：设mnAF.若有一个r阶子式不为0，且 A的所有1r阶子式（假设A有1r阶子式）全为0或不存在，则称r为A的秩，记作()rankA,若0A，则0rankA。定义一、定义二，这两个定义是等价的。它的等价性可由向量的线性相关性来证，课本中已有证明。关于矩阵秩的刻画方式很多，下面给出的命题1就是关于矩阵秩的等价描述的一组结论．命题1设A为mn矩阵，则下面各结论等价：2矩阵秩的理论研究第5页（共25页）1)()RAr;2)A的行向量组的秩等于r;3)A的列向量组的秩等于r；4)A的行空间的维数等于r；5)A的列空间的维数等于r；6)n元其次线性方程组0AX的解空间的维数等于nr。定义3：矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A的秩.矩阵A的秩为r,记为()RAr.特别,零矩阵0的秩(0)0R.该定义不仅便于理解，用该定义计算矩阵的秩也十分方便.只要对矩阵进行初等变换成阶梯型就能直接看出其秩了.实际上定义三就是根据定理“初等变换不改变矩阵的秩”得来的。下面举例以加深理解和比较这三个定义：例1求矩阵A的秩其中112323571012A；解：法一（定义1）A有4个3阶子式，1122350101，1132370102，1232570112，1233570012.即它的所有3阶子式均为0.我们再随便写几个它的2阶子式，111023，故A的秩为2.法二（定义2）令1(1,1,2,3)，2(2,3,5,7)，3(1,0,1,2).则123A.显然123,,中两两不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，这还需要验证，矩阵秩的研究与应用第6页（共25页）令31122kk.则带入数据，即有121212122130251372kkkkkkkk，解得1231kk，即有3123，也就是3能被12,线性表出。故其秩为2.法三（定义3）3221312112311231123235701110111101201110000rrrrrr，最终阶梯型矩阵不为0的行数是2，故其秩为2.[1][2][7]2.2矩阵秩的性质：1、()rankABrankArankB2、(),rankABminrankArankB3、(,)mnrankAminmn4、()()(,)rankPArankAQrankPQ可逆5、若nnA的秩为r，则存在可逆矩阵P、Q使得rEOPAQOO.6、()0rankA，当且仅当A是零矩阵；7、()nnrankAn，当且仅当0A；若0A，则()nnrankAn；8、()()AOAOrankrankrankrankArankBBCBOB；2矩阵秩的理论研究第7页（共25页）由上述性质7，我们又可以得到命题2()0rankAnA，从而有以下一些等价条件：1)nn矩阵A的秩等于n；2)矩阵A的行列式不为零；3)矩阵A是可逆矩阵；4)齐次线性方程组0AX只有零解；5)矩阵A能表示成一些初等矩阵的乘积的形式12nAQQQ；6)矩阵A的所有特征值均不为零。有了这些等价条件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。[4][5][8]2.3秩的求法：求矩阵秩的方法很多，拿来一个题目首先要认真仔细审题，尤其要挖掘题设所隐含的、不明显的条件，寻找这些题设与要解得结论的关系，从而确定解题思路。有时也要做一些技巧的变形，或构造一些辅助的条件，作为解决问题的桥梁，这是难点所在。也正是数学难学的原因所在，总之，要因题而异，所谓学无定法。比如对一个具体矩阵来说，秩的求法可利用上面提到的三个定义求得，既简便，又可行，如例1三种方法均可使用，难易程度不分彼此。而对于一些抽象矩阵则很难一下看出思路和方法，还需利用其他知识等综合考虑问题，这需要学生多多做题，积累经验，具体问题具体分析。我们来看下面一个例题。例2.3设,AB是n阶方阵，试证：如果0AB，则()()rankArankBn.分析：解这个题需要由题设0AB联想到秩与齐次线性方程组关联，清楚0AB与0AX两者的关系，更深一步是需要明白矩阵乘积的意义.证明：因为0AB，所以B的列向量都是齐次线性方程组0AX的解，所以()rankB小于或等于方程组0AX的基础解系的个数()nrankA，即()()rankBnrankA，矩阵秩的研究与应用第8页（共25页）从而得()()rankArankBn.现在我们回过头来看例1，比较三个定义来求矩阵秩的方法优劣。1、从逻辑性方面看：用定义3的方法逻辑推理性不强，没有层次感，学生较难理解接受；相比之下，用定义2，定义1的方法，逻辑推理性较强，层次分明，步骤明确，学生比较容易理解接受。2、从计算量方面看：定义3的方法计算量较小。对于常见的4行5列矩阵，用定义3的方法通常只需3—5个步骤、10次左右的初等变换就可求出秩。如果能够灵活地将初等行变换、初等列变换交替使用，过程就更简单了；相比之下，用定义2的方法计算量非常大。对于上述常见的4行5列矩阵，存在4、3、2、1阶子式，其中4阶子式有455C个，3阶子式有334540CC个，2阶子式有224560CC个，1阶子式有114520CC个，这样一个个算，量是非常大的。对行列数更多的矩阵，要计算的就更多了，计算量也就更大了。定义1的运算量也相当大，解多元方程组也是一个棘手的过程。3、从计算难度方面看：对于行列数均3的矩阵而言，两种方法难度相差不大。而对于行列数均3的矩阵而言，用定义3的方法难度较小，用定义1、定义2的方法难度较大，且矩阵的行列数越大，前者和后两者方法难度的差距也随之增大。4、从正确率方面看：对于行列数3的矩阵而言，三种方法也相差无几。而对于行列数均3的矩阵而言，用定义3的方法步骤简练，中间过程较少，因而出错的可能性相对较小，正确率较高；而用定义1、定义2的方法步骤繁多，且有一定难度，因而出错的可能性相对较大，正确率也较低。综合以上几个方面，用定义3的方法虽然相对不易理解接受，但实际应用时步骤简练，计算量相对较小，正确率较高；而用定义1、定义2的方法虽然相对较易理解接受，但实际应用时步骤繁琐，计算量很大，正确率也较低。故而得出下面结论：在求矩阵的秩时，用定义3的方法要优于前面两种方法。[3]2矩阵秩的理论研究第9页（共25页）3矩阵的秩在线性代数中的应用3.1矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用我们先了解下向量组线性相关的定义以及线性无关的定义，还有就是向量组的极大线性无关组的概念，那么矩阵的秩和它们又有什么联系呢？定义4：如果向量组12,,,(2)ss（*）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组12,,,s称为线性相关的.定义5：一向量组12,,,(1)ss不线性相关，即没有不全为零的数12,,,skkk使11220,sskkk就成为线性无关；或者说，一向量组12,,s称为线性无关，如果由11220sskkk可以推出120skkk.定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.结合定义一，我们要判断向量组（*）是否线性相关，只需求出该向量组构成的矩阵的秩即可，其秩也就是其极大线性无关组的个数，从而判断出其是否线性相关。定理3.1.1设12,,nsP，令12(,,,)sA，其中A是ns矩阵，(1,2,)iis为n维列向量，且12(,,,)'sxxxx，则12,,,s线性相关0AX有非零解()rankAs.12,,,s线性无关0AX只有零解()rankAs.定理3.1.2向量组12,,lbbb与向量组12,,maaa能够互相线性表出，则称这两个向量组等价。其等价的充分必要条件是()()(,).RARBRAB其中A和B分别是向量组12,,maaa和12,,lbbb所构成的矩阵.矩阵秩的研究与应用第10页（共25页）例3.1设有向量组123(1)(1,0,2)',(1,1,3)',(1,1,2)'a；123(2)(1,2,3)',(2,1,6)',(2,1,4)'aa