矩阵论—H-L定理

机动目录上页下页返回结束数学科学学院陈建华矩阵论机动目录上页下页返回结束1.4Hamilton─Caylay定理一、H-C定理二、最小多项式三、简单应用•设为A的特征多项式,则,()nnAPfEA11221()()(1)nnnnnfAAaaaAAEO证:设是的伴随矩阵，则()BEA一、哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理()()()BEAEAEfE都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.又的元素是的各个代数余子式，它们()BEA因此，可写成()B零矩阵120121()nnnnBBBBB其中，都是的数字矩阵.011,,,nBBBnn再设111()nnnnfaaa则，111()nnnnfEEaEaEaE①而1201021()()()()nnnBEABBBABBA121()nnnBBABA②比较①、②两式，得01012121211nnnnnBEBBAaEBBAaEBBAaEBAaE③以依次右乘③的第一式、第二式、1,,,,nnAAAE…、第n式、第n＋1式，得01110121221221211nnnnnnnnnnnnnBAABABAaABABAaABABAaABAaE④把④的n＋1个式子加起来，即得121120nnnnnAaAaAaAaE().fAO注：设为有限维线性空间V的线性变换，是()f()0.f的特征多项式，则零变换注意：教材是用若当标准形证明。例1.设求102011,010A8542234.AAAAE3()21fEA解：A的特征多项式用去除得()f8542234(),g532()()(245914)gf2(243710)()0,fA85422234243710AAAAEAAE348260956106134由哈密尔顿―凯莱定理，,()||nnAPfEA是A的特征多项式，则()0.fA因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个nnAP多项式使()[],fxPx()0.fA多项式为A的零化多项式.()fx引入接着讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称二、最小多项式1.最小多项式的定义定义：设在数域P上的以A为根的多项,nnAP为A的最小多项式，记做.式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称例子：132110020,010001002AB()Am2.最小多项式的基本性质性质1矩阵A的最小多项式是唯一的.证：设都是A的最小多项式.12(),()gxgx由带余除法，可表成1()gx12()()()()gxqxgxrx其中或()0rx2(())(()).rxgx于是有12()()()()0gAqAgArA由最小多项式的定义，()0,rx即，21()().gxgx同理可得，12()().gxgx12()(),0gxcgxc()0rA又都是首1多项式,12(),()gxgx1c故12()().gxgx性质2设是矩阵A的最小多项式，则()gx()fx零化A()().gxfx证：充分性显然，只证必要性由带余除法，可表成()fx()()()(),fxqxgxrx其中或()0rx(())(()).rxgx于是有()()()()0fAqAgArA()0rA由最小多项式的定义，()0.rx()().gxfx由此可知：若是A的最小多项式，则整除任何一()gx()gx个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式.即性质3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子.例2、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式;xk特别地，单位矩阵的最小多项式是；1x零矩阵的最小多项式是.x反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵.例3、求的最小多项式.110010001A解：A的特征多项式为3110()||010(1)001xfxxEAxxx又0,AE22()2AEAAE1202201000100200100001002001∴A的最小多项式为2(1).x性质4.相似矩阵具有相同的最小多项式.证：设矩阵A与B相似，分别为它们的(),()ABgxgx最小多项式.由A相似于B，存在可逆矩阵T,使1.BTAT从而11()()()0AAAgBgTATTgAT()Agx也以B为根，同理可得()().ABgxgx()().BAgxgx从而又都是首1多项式，(),()ABgxgx()().ABgxgx反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：1100110001000100,0010002000020002AB的最小多项式皆为但A与B不相似.2(1)(2),xx注：3||(1)(2),EAxx22||(1)(2)EBxx||||.EAEB即所以，A与B不相似.性质5设A是一个准对角矩阵1200AAA并设的最小多项式分别为.12(),()gxgx12,AA则A的最小多项式为的最小公倍式.12(),()gxgx证：记12()[(),()]gxgxgx首先，12()0()00()gAgAgA即A为的根.()gx所以被A的最小多项式整除.()gx则12()0()00()hAhAhA从而12()0,()0.hAhA()0,hA其次，如果12()(),()().gxhxgxhx从而()().gxhx故为A的最小多项式.()gx若A是一个准对角矩阵12sAAA且的最小多项式为iA(),1,2,...,igxis则A的最小多项式是为12[(),(),...,()].sgxgxgx推广：特别地，若两两互素，即12(),(),...,()sgxgxgx12(),(),...,()1sgxgxgx则A的最小多项式是为12()()...().sgxgxgx1.引理级若当块k111aaJa的最小多项式为().kxa证：J的特征多项式为()kxa()0.kJaE三、简单应用而010100,10JaE2001000()0,100JaE10010()0.0kJaEJ的最小多项式为().kxa定理：与对角矩阵相似nnAPA的最小多项式是P上互素的一次因式的积.推论：与对角矩阵相似nnACA的最小多项式没有重根.对角化定理机动目录上页下页返回结束