矩阵论复习.

矩阵论复习一.线性空间1.线性空间的概念2.线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换）3.线性子空间的概念与运算(1)定义(2)运算（交与和，直和）1.判断1，sinx,cosx的线性相关性.2.若1,2,…,r线性无关，则向量组1=1+k1r,2=2+k2r,,r=r(kiK)也线性无关.3.求向量组)7,3,1,1()1,0,1,2()1,1,1,1()0,1,2,1(2121分别生成的子空间的交的基和维数.4.设V1,V2分别是KxxxxxxVKxxxxxxxViiininn,0),,(,0),,(121221211证明Kn=V1V25.设S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方阵构成的子空间，证明：Knn=SA,Knn=TA.二.线性变换1.定义T:VV且T(k+l)=kT()+lT()2.线性变换的值域与核R(T)=L(T(1),T(2),T(n)),N(T)={T()=,V}3.线性变换的矩阵T(1,2,,n)=(1,2,,n)ArankT=rankA,nullT=nrankA（1,2,,n为线性空间V的一个基）4.线性变换的运算加法，数乘，乘法，逆，多项式.5.化简线性变换的矩阵(1)线性变换的特征值与特征向量(2)在不同基下的矩阵相似(3)C上的线性空间V上的T，一定存在V的一个基使得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵(4)C上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T在该基下的矩阵为对角阵T有n个线性无关的特征向量。(5)Hamilton定理与矩阵的最小多项式6.不变子空间定义:W是V的子空间，T是V的线性变换，如果对W,有T()W,则W是T的不变子空间.1.求K22上的线性变换T：T(X)=AX的值域R(T)与核N(T)的基与维数,其中2.设T,S是V的线性变换，T2=T,S2=S,ST=TS,证明(S+T)2=S+TST=O.3.设T,S是V上线性变换，且T2=T,S2=S，证明(1)R(T)=R(S)TS=S,ST=T(2)N(T)=N(S)TS=T,ST=S4.设P[x]2的线性变换TT(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2求P[x]2的一个基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.0101A5.设V是C上的n维线性空间，T是V上的线性变换，其中1,2,,n是V的一个基.证明：V的包含n的T的不变子空间只有V.000212111),,,(),,,(nnT6.设线性空间V3的线性变换T在基1,2,3下的矩阵122212221A证明：W=L(21,31)是T的不变子空间.7.求下列矩阵的Jordan标准形0167121700140013,222333111BA8.求下列矩阵的最小多项式ababbabaA9.设A是一个6阶方阵，其特征多项式为()=(+2)2(-1)4,最小多项式为mA()=(+2)(-1)3,求出A的若当标准形.10.对于n阶方阵A，如果使Am=O成立的最小正整数为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.三.欧式空间与酉空间1.定义,度量矩阵((,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x和y分别是和在该基下的坐标)2.正交基与规范正交基(sthmidt正交化)3.正交补4.对称变换与正交变换(T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵.(T,T)=(,)T在规范正交基下的矩阵为正交矩阵.5.n阶方阵酉相似于上三角矩阵n阶方阵A酉相似对角矩阵A是正规矩阵.练习题1.在欧式空间R22中的内积为取（1）求W的一个基；（2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基.2.已知欧式空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为A,证明在Vn中存在基1,2,,n，使满足2121),(ijijijbaBA),(,1110,00112121AALWAAjijiji01),(3.设1,2;1,2是欧式空间V2两个基,又1=122,2=12,(1,1)=1,(1,2)=-1,(2,1)=2,(2,2)=0分别求基1,2与1,2的度量矩阵.4.设实线性空间Vn的基1,2,,n，设，Vn在该基下的坐标分别为(1,,n)T,(1,,n)T;定义(,)=11++nn证明：（1）(,)是Vn的内积；（2）在该内积下，基1,2,,n是Vn的标准正交基.5.设ARmn，证明在列向量空间Rm中，R(A)=N(AT)6.设T是n维Eulid空间V的线性变换，T(1,2,,n)=(1,2,,n)A证明：T为对称变换ATG=GA，其中G为1,2,,n的度量矩阵.7.设n维Eulid空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为G,正交变换T在该基下的矩阵为A，证明:(1)T1,T2,,Tn是Vn的基；（2）ATGA=G.8.设1,2,,n是n维欧式空间V的标准正交基，T是V中的正交变换，由1,2,,r(rn)生成的r维子空间W=L(1,2,,r)是T的不变子空间，证明：W的正交补空间W=L(r+1,r+2,,n)也是T的不变子空间.9.设矩阵空间R22的子集V={X=(xij)x11+x22=0}(1)验证V是R22的子空间，并求V的一个基。(2)给定V中的变换T：TX=X+XT(XV),验证T是线性变换。(3)求T的全体特征值与特征向量。10.给定线性空间V6的基x1,x2,,x6及线性变换T：Txi=xi+2x7-i（1）求T的全部特征值与特征向量；（2）判断是否存在另一个基，使T在该基下的矩阵是对角矩阵？若存在，把它构造出来。,aaaa,ba,ijijij222112112121ABA,bbbb22211211BV中的线性变换为T(X)=XP+XT,任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵..0110P11.已知欧式空间R22的子空间中的内积为,xxxxxxxxV0032414321X第2章范数理论一.向量范数1.定义2.结论：lp范数3.等价性二.矩阵范数1.定义2.结论：pnipip11x,amaxn,aijijmminjijmAA111;,,max,aminjijFAAAAxAAx21121112；从属范数：0TAAxxxAA范数习题：1.证明：Cnn中的矩阵范数与等价.2.证明:Cnn中的矩阵范数与Cn中的向量范数相容。3.设A=(aij)mn,定义实数证明：是Cmn中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容.mF1mpijjiGamnA,max4.设可逆矩阵SRnn,且是Rn中的向量范数.若表示Rnn中从属于向量范数的矩阵范数，试导出与矩阵2-范数之间的关系.5.设Vn是数域R上的线性空间，xVn在基(I)x1,x2,,xn下的坐标为=(a1,a2,an)T.(1)证明：是Vn中的向量范数。(2)设xVn在基(II)y1,y2,,yn下的坐标为=(b1,b2,bn)T,且由基(I)到基(II)的过渡矩阵为C，2SxxssAsxsA2αx证明：C为正交矩阵.6.给定矩阵A,BCnn,且B可逆，定义验证是Cn中的向量范数。7.设，证明2βx313BxAxxx12AAnmnCA第3章矩阵分析及其应用一.矩阵序列{Ak}二.矩阵级数收敛(A)r三.矩阵函数(定义，AB=BAeAeB=eA+B)四.矩阵的微积分()五.一阶线性常系数（非）齐次微分方程组dx/dt=Ax,通解：x(t)=etAcdx/dt=Ax+b通解：x(t)=etAc+etAdssbettsA0)(00,kkkkkkAcAcAtAdtAtdAedtdeAtAtsincos,习题：1.设n阶方阵A不可逆，则cosA亦不可逆。()2.设A是n阶Householder矩阵，则cos(2A)=3.已知，判定收敛的根据是(),幂级数的和是().4.已知,则矩阵幂级数是(),其理由是().5.设，则矩阵幂级数是().60703010....A0kkA1281A06kkkkA1011A021kkkkA6.已知,则sin(At)=().7.设(aR),则矩阵幂级数收敛a().8.设，,则111201010A000aaaaaaA0kkA232221131211X31321211)(XfdXdf（）.9.设A是可逆矩阵，则().10.已知(1)求etA;(2)用矩阵函数的方法求微分方程满足初始条件x(0)=(0,1,1)T的解.dtetA10tteetbA990)(,542452228tttdtdbAxx11.设X=(xij)nnRnn,则().12.已知求A.13.已知求A.)(XtrdXdtttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeee333303333032346612220606004222242661tsintsintsintsintsintsintsintsinA第4章矩阵分解一.三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，choclesky）存在A的i阶顺序主子式(0in)不为零。二.QR分解存在三.满秩分解四.奇异值分解习题：1.设Hm是m阶Householder矩阵，In-m是n-m阶单位矩阵(mn)，则是n阶Householder矩阵.2.设Tm是m阶Givens矩阵,In-m是n-m阶单位矩阵(mn)，则是n阶Givens矩阵.3.用Householder变换求mnmnIOOHHmnmnIOOTT1131111111011141A的QR分解.4.用Givens变换求矩阵QR分解。1131111111011141A5.设ARnn的特征值是1,2,,n,且AT=A.若BRnn与A正交相抵，则B的奇异值是().第5章特征值的估计及对称矩阵的极性一.Gerschgorin定理二.实对称矩阵的Rayleigh商三.A相对B的广义Rayleigh商四.矩阵的直积(AB)0,)(xxxAxxxRTT0,)(xBxxAxxxRTT结论：1.R(x)的驻点的值是A的特征值(广义),驻点是对应的特征向量。2.若12n，则3.(A)4.(AB)(CD)=(AC)(BD)5.(AB)-1=A-1B-1BxxAxxTTVxVkkkmaxminBxxAxxTT