矩阵论简明教程课后习题与答案解析

1习题一13.设ACnn是Hermite矩阵。证明A是Hermite正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite正定矩阵B，使得A=B2。解：若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U,使得UHAU=n21,i﹥0,I=1,2,,n.于是A=Un21UH=Un21UHUn21UH令B=Un21UH则A=B2.反之,当A=B2且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit正定的.14.设ACnn是Hermite矩阵，则下列条件等价:（1）A是Mermit半正定矩阵。（2）A的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵PCnn,使得A=PHP解：(1)(2).因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得UHAU=diag(n,,,21)令x=Uy,其中y=ek.则x0.于是xHAx=yH(UHAU)y=k≧0(k=1,2,,n).(2)(3).A=Udiag(n,,,21)UH=Udiag(n,,,21)diag(n,,,21)UH令P=diag(n,,,21)UH,则A=PHP.(3)(1).任取x0,有xHAx=xHPHPx=22Px≧0.2习题二1.求向量x=（1+i，-2,4i，1,0）的1、2、∞范数。解：1x=01i42i1=7+2,2x=1i)4i(4)2(i)1i)(1(2=23,x=max1i42i1,,,=4.2.设1，2…..n是一组给定的正数，对任意x=（1,2…..n）TCn,规定x=nkkk12。证明x是Cn上的一种向量范数。解：当x0时,有x﹥0;当x﹦0时,显然有x=0.对任意C,有x=xnkkknkkk1212.为证明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式:设1≦p﹤∞,则对任意实数xk,yk(k=1,2,,n)有pnkpkkyx11)(≦nkppknkppkyx1111)()(证当p=1时，此不等式显然成立.下设p﹥1,则有nkpkkyx1≦nkpkkknkpkkkyxyyxx1111对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式,并由(p－1)q=p,得nkpkkyx1≦qnkqpkkpnkpkqnkqpkkpnkpkyxyyxx11)1(1111)1(11)()()()(=qnkpkkpnkpkpnkpkyxyx111111)]()()[(再用qnkpkkyx11)(除上式两边,即得Minkowski不等式.现设任意y=(n,,,21)TCn,则有nkkkkyx12=nkkkk12)(≦nkkkkk12)(≦nkjknkkk1212()(=yx.3.设·a，·b是Cn上的两种向量范数，又1k，2k是正常数，证明下列函数是Cn上的向量范数。(1)函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A,B)=)(21babamax(),bayxyx≦max(bbaayxyx,)=)(21bbaababayxyxyyxx≦)(21babababayyxxyyxx3=)(21)(21babababayyyyxxxx=max(baxx,)+max(bayy,)(2)只证三角不等式.k1ayx+k2byx≦k1ax+k1ay+k2bx+k2by=(k1ax+k2bx)+(k1ay+k2by).4.218132i453i11mA;66132i453i1222222FA;15mA;1A列和范数(最大列模和)=27;A=行和范数(最大行模和)=9;5.已知·m是Cnn上的矩阵范数，S是n阶可逆矩阵。对任意ACnn，规定A=m1ASS，证明·是Cnn上的一种矩阵范数。解：非负性:A≠O时S1AS≠O,于是m1ASSA＞0.A=O时,显然A=0;齐次性:设C,则m1)(SASAm1ASS=A;三角不等式:m11m1)(BSSASSSBASBA≦BABSSASSm1m1;相容性:m11m1)(BSASSSSABSAB≦m1m1BSSASS=AB.6.证明：对Cnn上的任意矩阵范数·均有nI≧1。因为In≠O,所以nI＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:nnnIII≦nInI,即nI≧1.7.证明Cnn上的m范数与Cn上的1、2范数相容。解：设A=(Aij)Cnn,x=T21),,,(nCn,且A=ijjia,max,则ikkikAxa1≦ikkika=kiikka][≦nAkk=mA1x;ikkikAx22a≦ikkika2][=ikka22][=nA2x≦nA=mA2x.10.设U是n阶酉矩阵，证明12U解：利用定理2.12得122H2nIUUU.12．设·为Cnn上的矩阵范数，为ACnn的特征值，证明λ≦mmA.解：设x是对应于的特征向量,则Axxmmλ.又设v是Cn上与矩阵范数相容的向量范数,那么vmvmvmxAxxλλ≦vmxA因vx＞0,故由上式可得mλ≦mAλ≦mmA.4习题三4.我们用用两种方法求矩阵函数eA:相似对角化法.22aλλAI,a-ai,i当λia时,解方程组(ia－A)x=0,得解向量p1=(i,1)T.当λ=－ia时,解方程组(ia+A)x=0,得解向量p2=(－i,1)T.令P=11ii,则P1=i1i1i21,于是eA=Paai00iP1=aaa-acossinsincos.利用待定系数法.设eλ=(2λ+a2)q(λ)+r(λ),且r(λ)=b0+b1λ,则由aaabbabbi10i10eieib0=cosa,b1=a1sina.于是eA=b0I+b1A=cosa11+a1sinaaa=aaaacossinsincos.后一求法显然比前一种方法更简便,以后我们多用待定系数法.设f()=cos,或sin则有a-abbaabbsiniisinii1010与aabbaabbicosiicosi1010由此可得aabbsinii010与0icos10bab故(a2isinia)A=0isiniisini0aa=sinA与(cosia)I=aacosi00cosi=cosA.5.对A=013013111求得P=013013111,P1=24633011061,P1AP=2115eAt=Pdiag(et,et,et2)P1=tttttttttttttte3e3e3e30e3e3e3e30ee3e2ee3e4e661222tsinA=Pdiag(sin(－1),sin1,sin2)P1=01sin601sin6001sin42sin21sin22sin42sin618.证明：对任意ACnn,有：（1）sin2A+cos`2A=I;（2）sin(A+2πI)=sinA;（3）cos(A+2πI)=cosA;（4）eIAiπ2=eA(1)sin2A+cos`2A=[)e(ei21iiAA]2=[)(e21iiAAe]2=)eee(e41)eee(e41i2i2i2i2OOAAOOAA=eO=I(2)sin(A+2πI)=sinAcos(2πI)+cosAsin(2πI)=sinA[I－!21(2πI)2+!41(2πI)4－…]+cosA[2πI－!31(2πI)3+!51(2πI)5－…]=sinA[1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]I+cosA[2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]I=sinAcos2π+cosAsin2π（3）的证明同上.(4)因为A（2πiI）=(2πiI)A,所以根据定理3.10可得eIAiπ2=eAeIπi2=eA[I+(2πI)+!21(2πiI)2+!31(2πiI)3+…]=eA{[1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]+i[2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]}I=eA{cos2π+isin2π}I=eA此题还可用下列方法证明:eIAπi2=eAeIiπ2=eAPiπ2iπ2πi2eeeP1=eAPIP1=eA用同样的方法可证:eIAπi2=eAeIπi2.10.证明：若A为反对称矩阵，则eA是正交矩阵。AT=－A,根据第7题的结果得(eA)T=eTA=eA,于是有eA(eA)T=eAeTA=eAA=eO=I6习题四9.求下列矩阵的Hermite标准形和所用的变换矩阵S,并求满秩分解：(1)对A施行初等行变换100424201011200010321～142000002102121100111201S=,1420210011A=212110120142202110.求下列矩阵的奇异值分解：(1)002001A;(1)000000005TAA的特征值是5，0，0.分别对应特征向量321,,eee,从而V=I,),(11pV∑=(5),11AVU∑1=2151.令,12512U21UUU,则IUA00000511，设ACnmr（r0）,i(i=1,2,3,..,r)是A的非零奇异值，证明2FA=rii12证明：根据第一章定理1.5,AAH的特征值之和为其迹，而由第二章2.7F－范数的定义AAAAAHH2F)tr(的特征值之和=rii12